Enunciado

25. Prove: se w 1 , w 2 , … ,   w n forem números reais positivos e se u = ( u 1 , u 2 , … , u n ) e v = ( v 1 , v 2 , … , v n ) forem dois vetores quaisquer em R n , então

w 1 u 1 v 1 + w 2 u 2 v 2 + … + w n u n v n ≤ w 1 u 1 2 + w 2 u 2 2 + … + w n u n 2 1 2 w 1 v 2 2 + w 2 v 2 2 + … + w n v n 2 1 2

Passo 1

Ai ai... mais um mágica, mas juro que a culpa não é minha.... é um pouco intuitiva... Vamos aos poucos... a razão de manipularmos tudo isso é pra aplicar a desigualdade de Cauchy... que tem uma estrutura bem semelhante, ne....

u , v ≤ u v

Se fizermos vetores:

u ' = w 1 u 1 , w 2 v 2 , … ,   w n u n

v ' = w 1 v 1 , w 2 v 2 , … , w n v n

Vamos fazer o produto interno

u ' , v ' = w 1 2 u 1 v 1 + w 2 2 u 2 v 2 + … + w n 2 u n v n

Hummmmmm.... foi quase, heim... mas não deu certo....

Passo 2

AHHHHH... e se fizermos os vetores, então:

u ' ' = w 1 u 1 , w 2 v 2 , … ,   w n u n

v ' ' = w 1 v 1 , w 2 v 2 , … , w n v n

Fazendo o produto interno:

u ' ' , v ' ' = w 1 2 u 1 v 1 + w 2 2 u 2 v 2 + … + w n 2 u n v n

u ' ' , v ' ' = w 1 u 1 v 1 + w 2 u 2 v 2 + … + w n u n v n

Agora sim, heim...

Passo 3

E agora calculando a norma de cada vetor:

u ' ' = w 1 2 u 1 2 + w 2 2 u 2 2 + … + w n 2 u n 2

u ' ' = w 1 u 1 2 + w 2 u 2 2 + … + w n u n 2

u ' ' = w 1 u 1 2 + w 2 u 2 2 + … + w n u n 2 1 2

v ' ' = w 1 2 v 1 2 + w 2 2 v 2 2 + … + w n 2 v n 2

v ' ' = w 1 v 1 2 + w 2 v 2 2 + … + w n v n 2

v ' ' = w 1 v 1 2 + w 2 v 2 2 + … + w n v n 2 1 2

Usando a desigualdade de CauSUhadhAUH:

u ' ' , v ' ' ≤ u ' ' v ' '

Então:

w 1 u 1 v 1 + w 2 u 2 v 2 + … + w n u n v n ≤ w 1 u 1 2 + w 2 u 2 2 + … + w n u n 2 1 2 w 1 v 2 2 + w 2 v 2 2 + … + w n v n 2 1 2

Como queríamos demonstrar.

Resposta

w 1 u 1 v 1 + w 2 u 2 v 2 + … + w n u n v n ≤ w 1 u 1 2 + w 2 u 2 2 + … + w n u n 2 1 2 w 1 v 2 2 + w 2 v 2 2 + … + w n v n 2 1 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

18. Seja V um espaço com produto interno. Mostre que se w for ortogonal a ambos u 1 e u 2 , então w é ortogonal a k 1 u 1 + k 2 u 2 , quaiquer que sejam os escalares k 1 e k 2 . Interprete esse result
19. Seja V um espaço com produto interno. Mostre que se w for ortogonal a cada um dos vetores u 1 , u 2 , ... , u f , então w é ortogonal a cada vetor em ger{ u 1 , u 2 , ... , u f }.
(Desigualdade de Bessel) Seja { U 1 , … , U m } uma base ortonormal de um subespaço w de um espaço vetorial com produto interno V . Mostre que V 2 ≥ ∑ j = 1 m |V , U j​ 2 , ∀ V ∈ V .
Sejam w 1ew 2 subespaços de um espaço vetorial de dimensão finita com produto interno V . Mostre que w 1 + w 2 ⊥ = w 1 ⊥ ∩ w 2 ⊥ eq u ew 1 ∩ w 2 ⊥ = w 1 1 + w 2 ⊥ .
Seja V = C 0 [ a , b ] o conjunto das funções contínuas do intervalo a , be mR com o produto interno definido porf , g = ∫ a b f t g t d t a) mostre que os polinômios Q n t = p n 2 t - a - b b - a são