Enunciado

Encontre a área do triângulo no espaço tridimensional com os vértices dados.

P 1 ( 2 ,   6 ,   - 1 ) , P 2 ( 1 ,   1 ,   1 ) , P 3 ( 4 ,   6 ,   2 )

Passo 1

Nessa questão, temos que determinar os vetores que ligam os pontos do vértice desse triângulo.

Como um triângulo tem três vétices e, portanto, três vetores, temos:

P 1 P 2 → = P 2 → - P 1 → = 1 - 2 î + 1 - 6 j ^ + 1 + 1 k ^ P 1 P 3 → = P 3 → - P 1 → = 4 - 2 î + 6 - 6 j ^ + 2 + 1 k ^

P 1 P 2 → = - 1 î - 5 j ^ + 2 k ^ P 1 P 3 → = 2 î + 0 j ^ + 3 k ^

P 1 P 2 → = - 1 ,   - 5 ,   2 P 1 P 3 → = 2 ,   0 ,   3

Passo 2

O cálculo da área do triângulo é dado por S = 1 2 P 1 P 2 → × P 1 P 3 → . Então, temos que calcular

P 1 P 2 → × P 1 P 3 →

P 1 P 2 → × P 1 P 3 → = i ^ j ^ k ^ - 1 - 5 2 2 0 3

P 1 P 2 → × P 1 P 3 → = i ^ - 5 2 0 3 - j ^ - 1 2 2 3 + k ^ - 1 - 5 2 0

P 1 P 2 → × P 1 P 3 → = i ^ - 15 - 0 - j ^ - 3 - 4 + k ^ 0 - ( - 10 )

P 1 P 2 → × P 1 P 3 → = i ^ - 15 - j ^ - 7 + k ^ 10

P 1 P 2 → × P 1 P 3 → = - 15 ,   7 ,   10

Passo 3

Agora, o módulo temos que calcular o módulo desse vetor P 1 P 2 → × P 1 P 3 → para jogálo na equação da área do triângulo. Assim:

P 1 P 2 → × P 1 P 3 → = - 15 2 + 7 2 + 10 2

P 1 P 2 → × P 1 P 3 → = 374

Passo 4

Juntando as peças na equação   S = 1 2 P 1 P 2 → × P 1 P 3 → , temos

S = 1 2 P 1 P 2 → × P 1 P 3 →

S = 1 2 374

Resposta

1 2 374

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