Enunciado

21. Seja { w 1 , w 2 , … ,   w k } uma base de algum subespaço W de V . Mostre que W ⊥ consiste em todos os vetores de V que são ortogonais a cada um dos vetores da base.

Passo 1

Podemos supor que v é ortogonal a todos os vetores com essa base. Como no exercício 19, v é ortogonal a todos os vetores da base, que estão todos em W , desde que v esteja em W ⊥ . Se v não é ortogonal a todos os vetores com essa base, então v não pertence a W ⊥ . Então:

W ⊥ consiste em todos os vetores de V que são ortogonais a cada um dos vetores da base.

Resposta

W ⊥ consiste em todos os vetores de V que são ortogonais a cada um dos vetores da base.

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Seja w um subespaço de um espaço vetorial com produto interno V , gerado pelos vetores V 1 , … , V k . Mostre que V ∈ w ⊥ se, e somente se, V é ortogonal a V i , para i = 1 , … , k .
Sejam SeS 0 subconjuntos de um espaço vetorial com produto interno V . Mostre que S 0 ⫅ S implica que S ⊥ ⫅ S 0 ⊥ .
Seja w um subespaço de um espaço vetorial com produto interno V gerado pelos vetores V 1 , … , V k . Mostre que V ∈ w ⊥ se, e somente se, V é ortogonal a V i , para i = 1 , … , k .
Seguindo os mesmos passos do exercício anterior mostre a seguinte fórmula de recorrência para os polinômios de Legendre: p n + 1t = 2 n + 1 n + 1 t p n t - n n + 1p n - 1 ( t )
Seja V = C 0 [ - 1,1 ] o conjunto das funções contínuas do intervalo [ - 1,1 ] em R com o produto interno definido porf , g =∫ - 1 1 f t g t d t Prove a seguinte fórmula de recorrência para os polinôm