Enunciado

Obtenha uma equação geral do plano que contém a reta r e forma ângulo de θ radianos com s .

(a) cos ⁡ θ = 4 3 / 7 s : X = 1,0 , 0 + λ 1,2 , 3 r : c o n t é m   A = 1,0 , - 2   e   B = 1,1 , 0

Passo 1

Antes de mais nada, vamos encontrar a equação daquela reta r .

Para isso, primeiro temos que encontrar o vetor diretor:

r → = A B → = 1,1 , 0 - 1,0 , - 2

r → = 1,1 , 0 - 1,0 , - 2

r → = 0,1 , 2

E então, para montar a equação vetorial da reta, é só usar um dos pontos A ou B :

r :           X = 1,0 , - 2 + α 0,1 , 2

Beleza, já temos a equação da reta r .

Passo 2

O nosso objetivo é encontrar um plano π que, pra começo de conversa, contenha a reta r . Se esse plano tiver essa equação geral aqui:

a x + b y + c z = d

Então o vetor normal a ele é:

n → = a , b , c

E como ele contém o ponto A = 1,0 , - 2 , temos que:

a 1 + b 0 + c - 2 = d

d = a - 2 c

Ou seja, a equação é:

a x + b y + c z = a - 2 c

Além disso, como o plano contém a reta r → , o vetor normal ao plano também tem que ser normal à reta r .

Isso quer dizer que o produto escalar de r → e n → é:

r → ∙ n → = 0

0,1 , 2 ∙ a , b , c = 0

b + 2 c = 0

Beleza, já sabemos mais ou menos qual é a “cara” do nosso plano.

Passo 3

A segunda condição para definir o nosso plano é que ele forme um ângulo θ com a reta s .

Como é a equação para calcular esse ângulo?

sen ⁡ θ = n → ∙ s → n → s

Onde s → é o vetor diretor da reta s , que já foi dado no enunciado:

s :           X = 1,0 , 0 + λ 1,2 , 3

Ou seja:

s → = 1,2 , 3

Então:

n → ∙ s → = a , b , c ∙ 1,2 , 3 = a + 2 b + 3 c

E as normas são:

n → = a 2 + b 2 + c 2

s → = 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14

Então a nossa fórmula é:

sen ⁡ θ = a + 2 b + 3 c 14 a 2 + b 2 + c 2

E dá pra calcular esse seno pelo cosseno que foi dado no enunciado! É só lembrar dessa fórmula aqui:

sen ⁡ θ = 1 - cos 2 ⁡ θ

sen ⁡ θ = 1 - 4 3 7 2 = 1 - 16 3 49

sen ⁡ θ = 49 49 - 48 49 = 1 49 = 1 7

O mais correto seria colocar θ = ± 1 / 7 , mas como o ângulo entre reta e plano está sempre entre 0 e π / 2 , podemos deixar só a solução θ = 1 / 7 .

Passo 4

Então, voltando na equação de antes:

sen ⁡ θ = a + 2 b + 3 c 14 a 2 + b 2 + c 2

Substituindo com a expressão para o sen ⁡ θ :

1 7 = a + 2 b + 3 c 14 a 2 + b 2 + c 2

14 7 = a + 2 b + 3 c a 2 + b 2 + c 2

Juntando com a outra, ficamos com duas equações:

14 7 = a + 2 b + 3 c a 2 + b 2 + c 2 b + 2 c = 0

É um sistema de duas equações e três variáveis. Para resolver esse problema, a gente pode definir um valor arbitrário:

c = 1

Por que podemos fazer isso? Bom, a , b e c são só as coordenadas do vetor normal ao plano. Fixando c = 1 a gente só está fixando o sinal e a largura desse vetor, mas isso não faz diferença na definição do plano!

Só o que importa é a direção do vetor normal, e isso não é fixado quando escolhemos um valor qualquer para c .

Então, se c = 1 , então:

b + 2 c = 0

b + 2 1 = 0

b = - 2

E o a fica livre. Substituindo isso na equação:

14 7 = a + 2 - 2 + 3 1 a 2 + - 2 2 + 1 2

14 7 = a - 1 a 2 + 5

Passo 5

Agora temos que resolver essa equação para encontrar a :

14 a 2 + 5 = 7 a - 1

Elevando os dois lados ao quadrado:

14 a 2 + 5 = 49 a - 1 2

14 a 2 + 5 = 49 a 2 - 2 a + 1

49 - 14 a 2 - 98 a + 49 - 70 = 0

35 a 2 - 98 a - 21 = 0

Dividindo tudo por 7 :

5 a 2 - 14 a - 3 = 0

Agora é só resolver essa equação do segundo grau:

a = - - 14 ± - 14 2 - 4 5 - 3 2 5

a = 14 ± 256 10 = 14 ± 16 10

Então as duas soluções são:

a = 3

a = - 1 5

Passo 6

Finalmente vamos voltar lá na equação do plano:

a x + b y + c z = a - 2 c

As nossas soluções são:

a = 3 b = - 2 c = 1           e             a = - 1 / 5 b = - 2 c = 1

Ou seja, o primeiro plano que responde à pergunta do enunciado é:

a x + b y + c z = a - 2 c

3 x - 2 y + 1 z = 3 - 2 1

3 x - 2 y + z - 1 = 0

E o segundo é:

a x + b y + c z = a - 2 c

- 1 5 x - 2 y + 1 z = - 1 5 - 2

- 1 5 x - 2 y + z = - 11 5

Multiplicando tudo por - 5 :

x + 10 y - 5 z = 11

x + 10 y - 5 z - 11 = 0

Pronto, encontramos as duas soluções possíveis.

Resposta

Os dois planos são x + 10 y - 5 z - 11 = 0 e 3 x - 2 y + z - 1 = 0 .

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