Enunciado

a) Prove que o lugar geométrico dos pontos de E 3 que equidistam de A = ( 1 ,   - 1 ,   2 ) e B = ( 4 ,   3 ,   1 ) é um plano.

b) Prove que o plano do item (a) é perpendicular ao segmento A B e contém o seu ponto médio (trata-se, pois, do plano mediador do segmento A B ).

Passo 1

No item (a) temos que provar que o lugar geométrico dos pontos de E 3 que equidistam de A = ( 1 ,   - 1 ,   2 ) e B = ( 4 ,   3 ,   1 ) é um plano. Para isso, consideremos um ponto P = ( x ,   y ,   z ) genérico que seja equidistante de A e B . Assim,

A P → = B P →

Sabemos que

A P → = P - A = ( x - 1 ,   y + 1 ,   z - 2 )

B P → = ( x - 4 ,   y - 3 ,   z - 1 )

Portanto,

x - 1 2 + y + 1 2 + z - 2 2 = x - 4 2 + y - 3 2 + z - 1 2

Passo 2

Desenvolvendo:

x 2 - 2 x + 1 + y 2 + 2 y + 1 + z 2 - 4 z + 4 = x 2 - 8 x + 16 + y 2 - 6 y + 9 + z 2 - 2 z + 1

Simplificando os termos quadráticos:

- 2 x + 2 y - 4 z + 6 = - 8 x - 6 y - 2 z + 26

Portanto,

6 x + 8 y - 2 z - 20 = 0 ⇒ 3 x + 4 y - z - 10 = 0

Trata-se da equação de um plano! Era exatamente isso que queríamos mostrar!

Passo 3

Agora vamos para o item (b). O vetor normal do plano encontrado é

n → = ( 3 ,   4 ,   - 1 )

Já o vetor   A B → é

A B → = B - A = ( 3 ,   4 ,   - 1 )

Note que   A B → é paralelo a n → . Assim, mostramos que o segmento A B é perpendicular ao plano. Vamos achar agora a intersecção da reta que passa por A e B com o plano. Para isso, primeiro achamos a equação da reta:

X = A + λ   A B → = 1 ,   - 1 ,   2 + λ   3 ,   4 ,   - 1 = ( 1 + 3 λ ,   - 1 + 4 λ ,   2 - λ )

Substituindo x ,   y ,   z = ( 1 + 3 λ ,   - 1 + λ ,   2 - λ ) na equação do plano:

3 1 + 3 λ + 4 - 1 + 4 λ - 2 - λ - 10 = 0

Logo,

3 + 9 λ - 4 + 16 λ - 2 + λ - 10 = 0 ⇒ 26 λ = 13 ⇒ λ = 1 2

Portanto,

X = 1 + 3 2 ,   - 1 + 4 2 ,   2 - 1 2 = 5 2 ,   1 , 3 2

Vamos verificar se esse é o ponto médio de A B :

M = A + B 2 = 1 ,   - 1 ,   2 + ( 4 ,   3 ,   1 ) 2 = 1 2   5 ,   2 ,   3 = X

Provamos então que A B é perpendicular ao plano e que o ponto médio de A B está contido no plano!

Resposta

Demonstração.

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