Enunciado

Prove que: Uma matriz A , com ordem n , tem posto n se, e somente se A é inversível.

Passo 1

Observe que essa afirmação é do tipo se e somente se, isto é, ela possui uma “ida” e uma “volta”. Para prova-la, logicamente, devemos provar ambas as afirmações. Então vamos lá.

Passo 2

“Ida”: Se uma matriz A tem ordem n e posto n , então ela é inversível.

Essa é fácil, pois a matriz escalonada é obtida por operações simples sobre linhas de A , obtendo-se, no fim, uma matriz triangular superior. Isso é bom pois o determinante de uma matriz não se altera após operações simples sobre linhas.

Seja A ' a matriz escalonada de A .

Se o posto da matriz A é n e sua ordem é n , então não existe linha nula na sua equivalente escalonada, isto é, desde o a n n ' até o a 11 ' , todos são não nulos.

Como a matriz é triangular superior, temos que:

det ⁡ A = det ⁡ A ' = a ' 11 a ' 22 … a ' n n ≠ 0

Assim, concluímos que A é inversível.

Passo 3

“Volta”: Se uma matriz é inversível e tem ordem n , seu posto é n .

Podemos usar, novamente, o fato de que a matriz escalonada é triangular superior. Seja A ' a matriz escalonada obtida de A . Temos a seguinte relação:

det ⁡ A = det ⁡ A ' ≠ 0

Mas A ' é triangular superior, do que temos que o seu determinante é calculado por:

det ⁡ A ' = a 11 ' … a n n ' ≠ 0

Ou seja, nenhum dos elementos da diagonal principal da matriz escalonada pode ser nulo, isto é, não há linha nula na matriz escalonada. Portanto, seu posto é n .

Resposta

Demonstração.

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