Enunciado

Seja A uma matriz de ordem n tal que A + A t = 0 . Provar que det ⁡ A = - 1 n det ⁡ A . Que acontece se n é ímpar?

Passo 1

Provar que det ⁡ A = - 1 n det ⁡ A não é tão trabalhoso quanto parece. Só precisa que a gente tenha um pouco de habilidade com as propriedades de determinantes.

Agora, analisar o que vai acontecer quando n for ímpar, aí sim pode ficar algo “estranho”

Mas vamos começar devagar. Vejam só a nossa relação: A + A t = 0 . Se a gente passa A t para o segundo membro, teremos:

A = - A t

A sacada da questão está em perceber que este menos um que multiplica A t está multiplicando todas as linhas da nossa matriz. Então, como a matriz tem ordem n , o que implica em n linhas, temos o número n multiplicado n vezes.

Passo 2

Agora que a gente entendeu como funciona nossa matriz e a igualdade A = - A t , podemos aplicar o determinante. Desta forma, teremos:

det ⁡ A = det ⁡ - A t

Agora é o momento de demonstrarmos nossas habilidades. Lembram da propriedade det ⁡ A 1 , A 2 , … , λ A i , … ,   A n = λ det ⁡ A 1 , A 2 , … , A i , … ,   A n ? Pois é, temos que aplicar esta propriedade agora.

Só que agora, neste caso, todas as nossas n linhas estão multiplicadas por λ = - 1 . Então, o “correto” seria escrever:

det ⁡ λ A 1 , λ A 2 , … , λ A i , … ,   λ A n

E se a gente começa a isolar o λ de uma linha por vez, teremos:

det ⁡ λ A 1 , λ A 2 , … , λ A i , … ,   λ A n = λ det ⁡ A 1 , λ A 2 , … , λ A i , … ,   λ A n = λ 2 det ⁡ λ A 1 , λ A 2 , … , λ A i , … ,   λ A n = λ i det ⁡ A 1 , A 2 , … , A i , λ A i + 1 , … ,   λ A n = λ n det ⁡ A 1 , A 2 , … , A i , … ,   A n

E como λ = - 1 , podemos escrever então,

det ⁡ - A t = - 1 n det ⁡ A t

Opa! Estamos quase na nossa relação, pois até agora já obtemos:

det ⁡ A = - 1 n det ⁡ A t

Para finalizarmos, basta lembrar que o determinante da A é exatamente igual ao da sua matriz transposta. Portanto

det ⁡ A = - 1 n det ⁡ A t = - 1 n det ⁡ A

E assim provamos a relação pedida no enunciado da questão!

Passo 3

Para finalizarmos, temos que entender o que acontece com a expressão det ⁡ A = - 1 n det ⁡ A quando n for ímpar.

Se n for ímpar, teremos:

det ⁡ A = - det ⁡ A

E a princípio, chegamos a algum absurdo. Como que o determinante é igual ao seu negativo? Será se a relação que obtivemos é uma relação falsa? Mas como foi que a gente provou que era algo?

Confuso, tudo muito confuso.

Será se existe alguma solução que satisfaça a relação acima? Que tal então fazermos det ⁡ A = 0 ? Se fizermos isto,

0 = - 0

O que é uma verdade, não é?

Assim, chegamos ao que acontece quando n for ímpar. O determinante da matriz será obrigatoriamente 0.

OBS: sabem uma coisa que pode ajudar na hora de visualizar? Tenta fazer a relação com uma matriz 3x3 genérica. Faz a relação A + A t = 0 para descobrir os elementos (alguns genérico) e assim calculem o determinante. Vocês verão na prática que o valor é exatamente igual a 0.

Resposta

Quando n for ímpar o determinante de A será igual a 0.

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Determine todos os valores de λ para os quais det ⁡ A - λ I n = 0 , em que (c) A =2 - 2 3 0 3 - 2 0 - 1 2
Mostre que se uma matriz A = ( a i j ) n x n é triangular superior,(isto é, os elementos situados abaixo da diagonal são iguais a zero) então det ⁡ A = a 11 a 22 … a n n .
Determine todos os valores de λ para os quais det ⁡ A - λ I n = 0 , em que (b) A =1 0 0 - 1 3 0 3 2 - 2
Determine os valores de λ∈R tais que existe X = x 1 ⋮ x n ≠ 0 que satisfaz A X = λ X . (a) A =2 0 0 3 - 1 0 0 4 3
Determine os valores de λ∈R tais que existe X = x 1 ⋮ x n ≠ 0 que satisfaz A X = λ X . (c) A =2 2 3 4 0 2 3 2 0 0 1 1 0 0 0 1