Enunciado

Prove que, se a matriz M é ortogonal, então det ⁡ M = 1 ou det ⁡ M = - 1 . Vale a recíproca?

Passo 1

Bom, se uma matriz é ortogonal, temos que

M t = M - 1

Tomando o determinante dos dois lados:

det ⁡ M t = det ⁡ M - 1

Passo 2

Mas sabemos que

det ⁡ M t = det ⁡ M           e           det ⁡ M - 1 = 1 det ⁡ M

Assim,

det ⁡ M = 1 det ⁡ M ⇒ det ⁡ M 2 = 1

Portanto,

det ⁡ M = ± 1

Passo 3

A recíproca não vale, é possível construir uma matriz com determinante ± 1 que não seja ortogonal!

Resposta

Demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine os cossenos diretores e os ângulos diretores do vetor. (Forneça o ângulo diretor com precisão de um grau.)29. 3,4 , 5
Determine os cossenos diretores e os ângulos diretores do vetor. (Forneça o ângulo diretor com precisão de um grau.)30. 1 , - 2 , - 1
Determine um vetor unitário ortogonal a i + j e i + k
Ache dois vetores unitários que façam um ângulo de 60 ° com v =3,4
Determine o vetor projeção e a projeção escalar de b sobre a. a = - 5,12 , b = 4,6