Enunciado

(c) Prove que, se ( u → ∧ v → )   ∧ u → não é nulo, então este vetor forma ângulo agudo com v → .

Passo 1

Bora lá!

Queremos provar que, se ( u → ∧ v → )   ∧ u → não é nulo, então este vetor forma ângulo agudo com v → .

Vamos traduzir isso?

Ou seja, queremos provar que, se o produto vetorial entre dois vetores dados é não-nulo, então este vetor forma ângulo agudo com o vetor v → .

Passo 2

Cada operação para um parzinho ordenado de vetores tem suas próprias características, certo? Temos, então, o produto vetorial ( u → ∧ v → ) ∧ u → . Pela observação 11-11 que se encontra na página 115 e sabendo que u → ∧ v → ≠ 0 → , temos que:

( u → ∧ v → )   ∧ u →                                                                    

⇒ u → ∧ v → . u → . v → = u → ∧ v → 2      

⇒ u → ∧ v → ∧ u → . v → > 0                              

Passo 3

Com isso, podemos notar também que para o ângulo formado pelo produto vetorial u → ∧ v → ∧ u → , temos a relação abaixo, segundo a teoria dada:

u → ∧ v → . v → 2 - u → ∧ v → . v → = u → ∧ v → . v → 2 sin 2 ⁡ θ

Assim, conseguimos demonstrar que se o produto vetorial dado é não-nulo, então este vetor forma ângulo agudo com o vetor v → .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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