Enunciado

Prove que Ω : z = 8 x 2 - 2 x y + 8 y 2 é um paraboloide elíptico e faça um esboço.

Passo 1

Bom, vamos começar lembrando qual é a definição de um paraboloide elíptico. É qualquer superfície que tenha essa equação reduzida aqui:

z = x 2 a 2 + y 2 b 2           ,           a ≠ b

Onde a e b são número reais positivos, e x y z são um sistema de coordenadas ortogonais.

Vamos dar uma olhada na equação do enunciado:

z = 8 x 2 - 2 x y + 8 y 2

Logo de cara aparece um problema: x y aparecem multiplicando um ao outro! Precisamos dar um jeito nisso.

A melhor forma de resolver esse tipo de problema é aplicando uma mudança de coordenadas.

Quando queremos nos livrar de termos do tipo a x , b y ou c z , é melhor usar uma translação de coordenadas.

Quando queremos nos livrar de termos do tipo a x y , é melhor usar uma rotação de coordenadas.

Passo 2

Como o nosso problema só está nas variáveis x e y , vamos fazer uma rotação no plano x y , ou seja, em torno do eixo z :

E vamos lembrar da matriz de rotação, que é uma forma fácil de lembrar como fica essa rotação.

No nosso caso, x e y são o resultado de uma rotação de u e v por um ângulo θ no sentido anti-horário:

cos ⁡ θ - sen ⁡ θ sen ⁡ θ cos ⁡ θ u v = x y

Essa matriz faz justamente isso: rotacional as coordenadas por um ângulo θ no sentido anti-horário.

Multiplicando aquelas matrizes, encontramos o seguinte:

u cos ⁡ θ - v sen ⁡ θ u sen ⁡ θ + v cos ⁡ θ = x y

Beleza, agora vamos substituir essas expressões de x e y na equação lá de cima:

x = u cos ⁡ θ - v sen ⁡ θ

y = u sen ⁡ θ + v cos ⁡ θ

Passo 3

Voltando na nossa equação:

z = 8 x 2 - 2 x y + 8 y 2

E substituindo:

z = 8 u cos ⁡ θ - v sen ⁡ θ 2 - 2 u cos ⁡ θ - v sen ⁡ θ u sen ⁡ θ + v cos ⁡ θ + 8 u sen ⁡ θ + v cos ⁡ θ 2

Agora vamos abrir esses produtos notáveis. Um de cada vez para evitar confusão:

8 u cos ⁡ θ - v sen ⁡ θ 2 = 8 u 2 cos 2 ⁡ θ - 2 u v cos ⁡ θ sen ⁡ θ + v 2 sen 2 ⁡ θ

2 u cos ⁡ θ - v sen ⁡ θ u sen ⁡ θ + v cos ⁡ θ = 2 cos ⁡ θ sen ⁡ θ u 2 - v 2 + 2 u v cos 2 ⁡ θ - 2 u v sen 2 ⁡ θ

8 u sen ⁡ θ + v cos ⁡ θ 2 = 8 u 2 sen 2 ⁡ θ + 2 u v sen ⁡ θ cos ⁡ θ + v 2 cos 2 ⁡ θ

Somando o primeiro e o terceiro termos, vamos simplificar bastante as contas:

8 u 2 cos 2 ⁡ θ - 2 u v cos ⁡ θ sen ⁡ θ + v 2 sen 2 ⁡ θ + 8 u 2 sen 2 ⁡ θ + 2 u v sen ⁡ θ cos ⁡ θ + v 2 cos 2 ⁡ θ

Os dois termos com u v se cancelam, e podemos colocar os outros em evidência:

8 u 2 sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ + 8 v 2 sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ

E lembrando que sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1 :

8 u 2 + v 2

E agora, para voltar na fórmula de z , ficamos com:

z = 8 u 2 + v 2 - 2 u cos ⁡ θ - v sen ⁡ θ u sen ⁡ θ + v cos ⁡ θ

Usando a expressão que a gente encontrou para o segundo termo:

z = 8 u 2 + v 2 - 2 cos ⁡ θ sen ⁡ θ u 2 - v 2 - 2 u v cos 2 ⁡ θ + 2 u v sen 2 ⁡ θ

z = 8 u 2 + v 2 - 2 cos ⁡ θ sen ⁡ θ u 2 - v 2 - 2 u v cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ

E agora temos que lembrar de outras duas identidades importantes:

sen ⁡ 2 θ = 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ cos ⁡ 2 θ = cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ

Então:

z = 8 u 2 + v 2 - sen ⁡ 2 θ u 2 - v 2 - 2 u v cos ⁡ 2 θ

Beleza, agora queremos nos livrar daquele termo com u v . A única forma de fazer isso é forçando isso aqui:

cos ⁡ 2 θ = 0

E como cos ⁡ π 2 = 0 , vamos usar:

2 θ = π 2

θ = π 4

Nesse caso:

z = 8 u 2 + v 2 - sen ⁡ 2 θ u 2 - v 2 - 2 u v cos ⁡ 2 θ

z = 8 u 2 + v 2 - sen ⁡ π 2 u 2 - v 2 - 2 u v cos ⁡ π 2

E sen ⁡ π 2 = 1 , ficamos com:

z = 8 u 2 + v 2 - u 2 - v 2

z = 7 u 2 + 9 v 2

Ah, e também vamos fazer z = w :

w = 7 u 2 + 9 v 2

Passo 4

Beleza, agora vamos voltar à equação do paraboloide:

z = x 2 a 2 + y 2 b 2           ,           a ≠ b

E como u ,   v e w também são coordenadas ortogonais, podemos escrever essa fórmula como:

w = u 2 a 2 + v 2 b 2

Dá pra escrever a nossa equação nessa forma? Vamos tentar:

w = 7 u 2 + 9 v 2

Já está nessa forma! É só fazer a = 1 / 7 e b = 1 / 9 :

w = u 2 1 7 2 + v 2 1 3 2

Pronto, provamos que Ω dá um paraboloide elíptico!

Passo 5

Para fazer um esboço da superfície, vamos considerar o que acontece quando z é uma constante:

w = k

A equação do paraboloide elíptico é:

k = 7 u 2 + 9 v 2

Que dá uma elipse em um plano paralelo a ao plano u v :

Agora é só “juntar” todas essas curvas para encontrar um esboço como esse:

Resposta

Demonstração. Temos que fazer uma rotação de θ = 45 ° em torno do eixo z para obter a equação do paraboloide na forma reduzida.

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