Enunciado

Identifique a quádrica descrita pela equação dada.

(a) x 2 + 2 x y - y 2 + 6 x - 2 y - 3 = 0

Passo 1

Bom, vamos dar uma olhada nessa equação:

x 2 + 2 x y - y 2 + 6 x - 2 y - 3 = 0

O nosso problema aqui é encontrar a equação reduzida.

Logo de cara aparece um problema: x y aparecem multiplicando um ao outro! Precisamos dar um jeito nisso.

A melhor forma de resolver esse tipo de problema é aplicando uma mudança de coordenadas.

Quando queremos nos livrar de termos do tipo a x y , é melhor usar uma rotação de coordenadas.

Passo 2

Como o nosso problema só está nas variáveis x e y , vamos fazer uma rotação no plano x y , ou seja, em torno do eixo z :

E vamos lembrar da matriz de rotação, que é uma forma fácil de lembrar como fica essa rotação.

No nosso caso, x e y são o resultado de uma rotação de u e v por um ângulo θ no sentido anti-horário:

cos ⁡ θ - sen ⁡ θ sen ⁡ θ cos ⁡ θ u v = x y

Essa matriz faz justamente isso: rotacionar as coordenadas por um ângulo θ no sentido anti-horário.

Multiplicando aquelas matrizes, encontramos o seguinte:

u cos ⁡ θ - v sen ⁡ θ u sen ⁡ θ + v cos ⁡ θ = x y

Beleza, agora vamos substituir essas expressões de x e y na equação lá de cima:

x = u cos ⁡ θ - v sen ⁡ θ

y = u sen ⁡ θ + v cos ⁡ θ

Passo 3

Voltando na nossa equação:

x 2 + 2 x y - y 2 + 6 x - 2 y - 3 = 0

Para simplificar, vamos começar olhando só para esses dois primeiros termos:

x 2 + 2 x y - y 2

E vamos substituir com as expressões ali de cima:

x 2 = u cos ⁡ θ - v sen ⁡ θ 2 = u 2 cos 2 ⁡ θ - 2 u v cos ⁡ θ sen ⁡ θ + v 2 sen 2 ⁡ θ

y 2 = u sen ⁡ θ + v cos ⁡ θ 2 = u 2 sen 2 ⁡ θ + 2 u v sen ⁡ θ cos ⁡ θ + v 2 cos 2 ⁡ θ

E o termo misturando que causou problemas é:

2 x y = 2 u cos ⁡ θ - v sen ⁡ θ u sen ⁡ θ + v cos ⁡ θ

2 x y = 2 cos ⁡ θ sen ⁡ θ u 2 - v 2 + 2 u v cos 2 ⁡ θ - 2 u v sen 2 ⁡ θ

Isso tudo também ia ficar muito confuso se a gente somar as três expressões. Então primeiro vamos ver quais termos sobram com o produto u v .

n o   x 2         ⇒           - 2 u v cos ⁡ θ sen ⁡ θ = - u v sen ⁡ 2 θ

n o   y 2         ⇒           + 2 u v sen ⁡ θ cos ⁡ θ = u v sen ⁡ 2 θ

n o   x y         ⇒           2 u v cos 2 ⁡ θ - 2 u v sen 2 ⁡ θ = 2 u v   cos ⁡ 2 θ

Nessas simplificações aí de cima, nós usamos essas identidades aqui:

sen ⁡ 2 θ = 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ cos ⁡ 2 θ = cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ

Como a nossa expressão era:

x 2 + 2 x y - y 2

Então, substituindo, esse termo aqui vai aparecer:

- u v sen ⁡ 2 θ - u v sen ⁡ 2 θ + 2 u v   cos ⁡ 2 θ

2 u v cos ⁡ 2 θ - sen ⁡ 2 θ

E como a nossa ideia é sumir com esse termo que envolve o produto u v , queremos que:

cos ⁡ 2 θ - sen ⁡ 2 θ = 0

cos ⁡ 2 θ = sen ⁡ 2 θ

E a gente sabe que a solução mais simples pra isso é que o ângulo seja de 45 ° = π / 4 , porque esse ângulo tem senos e cossenos iguais!

2 θ = π 4

θ = π 8

Beleza, então essa é a substituição que a gente tem que fazer.

Passo 4

Nesse caso aquele trecho da equação referente a x 2 + 2 x y - y 2 fica:

x 2 = u cos ⁡ θ - v sen ⁡ θ 2 = u 2 cos 2 ⁡ θ - 2 u v cos ⁡ θ sen ⁡ θ + v 2 sen 2 ⁡ θ

y 2 = u sen ⁡ θ + v cos ⁡ θ 2 = u 2 sen 2 ⁡ θ + 2 u v sen ⁡ θ cos ⁡ θ + v 2 cos 2 ⁡ θ

2 x y = 2 cos ⁡ θ sen ⁡ θ u 2 - v 2 + 2 u v cos 2 ⁡ θ - 2 u v sen 2 ⁡ θ

Simplificando, a gente viu que os termos que tem u v vão sumir, então:

x 2 = u 2 cos 2 ⁡ θ + v 2 sen 2 ⁡ θ

y 2 = u 2 sen 2 ⁡ θ + v 2 cos 2 ⁡ θ

2 x y = sen ⁡ 2 θ u 2 - v 2

Agora vamos somar:

x 2 + 2 x y - y 2

u 2 cos 2 ⁡ θ + v 2 sen 2 ⁡ θ + sen ⁡ 2 θ u 2 - v 2 - u 2 sen 2 ⁡ θ + v 2 cos 2 ⁡ θ

u 2 - v 2 cos 2 ⁡ θ - u 2 - v 2 sen 2 ⁡ θ + u 2 - v 2 sen ⁡ 2 θ

u 2 - v 2 cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ + sen ⁡ 2 θ

E usando a mesma identidade de antes:

u 2 - v 2 cos ⁡ 2 θ + sen ⁡ 2 θ

E como:

2 θ = π / 4

E o cosseno e seno são:

cos ⁡ π 4 = sen ⁡ π 4 = 2 2

u 2 - v 2 2 2 + 2 2

2 u 2 - v 2

Beleza, já melhorou bastante.

Passo 5

Agora vamos voltar na equação original:

x 2 + 2 x y - y 2 + 6 x - 2 y - 3 = 0

A gente já viu que os três primeiros termos viram:

x 2 + 2 x y - y 2 = 2 u 2 - v 2

Vamos juntar com o resto:

2 u 2 - v 2 + 6 x - 2 y - 3 = 0

E substituindo as fórmulas de antes:

2 u 2 - v 2 + 6 u cos ⁡ θ - v sen ⁡ θ - 2 u sen ⁡ θ + v cos ⁡ θ - 3 = 0

Tá, pode parecer que está complicando de novo, mas olha só:

2 u 2 - v 2 + u 6 cos ⁡ θ - 2 sen ⁡ θ - v 2 cos ⁡ θ + 6 sen ⁡ θ = 1

Lembrando que já definimos θ = π / 8 , então nem precisamos ir muito longe! Já dá pra identificar qual é a equação.

Já sabemos que ele é uma quádrica cilíndrica, porque temos só duas variáveis u e v .

Como as duas variáveis estão elevadas ao quadrado, ela não pode ser parabólica, que é desse tipo aqui:

y 2 = c x

E também não pode ser elíptica, porque nesse caso as duas variáveis teriam sinais iguais:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

Então ela tem que ser uma quádrica hiperbólica:

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1

Porque as duas variáveis tem sinais trocados! Assim como na nossa equação, em que aparece u 2 - v 2 .

Passo 6

Tá, mais e essa confusão toda aí do lado?

2 u 2 - v 2 + u 6 cos ⁡ θ - 2 sen ⁡ θ - v 2 cos ⁡ θ + 6 sen ⁡ θ = 1

Como θ = π / 8 , todos esses termos em parênteses multiplicando u e v são números, ou seja, constantes!

Isso quer dizer que a gente poderia simplesmente completar os quadrados e arrumar um pouco para encontrar uma equação como essa aqui:

u - c 2 a 2 - v - d 2 b 2 = 1

Que dá uma quádrica cilíndrica hiperbólica!

Resposta

A equação é uma quádrica cilíndrica hiperbólica.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Para cada uma das equações abaixo, efetue uma rotação de eixos de modo a eliminar os termos em x y ,x z ,y z . Em seguida, efetue translações de modo a eliminar, ou reduzir a um só, os termos em x, y
Para cada uma das equações abaixo, efetue uma rotação de eixos de modo a eliminar os termos em x y ,x z ,y z . Em seguida, efetue translações de modo a eliminar, ou reduzir a um só, os termos em x, y
Para cada uma das equações abaixo, efetue uma rotação de eixos de modo a eliminar os termos em x y ,x z ,y z . Em seguida, efetue translações de modo a eliminar, ou reduzir a um só, os termos em x, y
Para cada uma das equações abaixo, efetue uma rotação de eixos de modo a eliminar os termos em x y ,x z ,y z . Em seguida, efetue translações de modo a eliminar, ou reduzir a um só, os termos em x, y
Para cada uma das equações abaixo, efetue uma rotação de eixos de modo a eliminar os termos em x y ,x z ,y z . Em seguida, efetue translações de modo a eliminar, ou reduzir a um só, os termos em x, y