Enunciado

Prove, em cada caso, que a equação dada descreve uma quádrica cônica.

(a) 2 x z + y 2 = 0

Passo 1

Bom pessoal, o que significa provar que uma equação descreve uma quádrica cônica?

A forma mais fácil de conseguir isso, é mostrando que a equação pode ser descrita nessa forma aqui:

z 2 = x 2 a 2 + y 2 b 2

Então vamos olhar para a nossa equação:

2 x z + y 2 = 0

Temos que eliminar esse termo com x z . Vamos fazer isso com uma rotação.

Passo 2

Já que nosso problema está no produto x z , vamos fazer uma rotação desses dois eixos em torno de y .

Essa rotação é representada por essa matriz de rotação aqui:

u cos ⁡ θ - w sen ⁡ θ u sen ⁡ θ + w cos ⁡ θ u w = x z

E a coordenada y fica y = v . Multiplicando essas matrizes, encontramos o seguinte:

x = u cos ⁡ θ - w sen ⁡ θ

z = u sen ⁡ θ + w cos ⁡ θ

y = v

Substituindo isso na equação:

2 x z + y 2 = 0

2 u cos ⁡ θ - w sen ⁡ θ u sen ⁡ θ + w cos ⁡ θ + y 2 = 0

2 u 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ + u w cos 2 ⁡ θ - u w sen 2 ⁡ θ - w 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ + v 2 = 0

Vamos reorganizar um pouco.

Passo 3

Primeiro temos que lembrar de algumas identidades trigonométricas:

sen ⁡ 2 θ = 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ cos ⁡ 2 θ = cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ

Então:

2 u 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ + u w cos 2 ⁡ θ - u w sen 2 ⁡ θ - w 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ + v 2 = 0

u 2 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ - w 2 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ + u w cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ + v 2 = 0

u 2 sen ⁡ 2 θ - w 2 sen ⁡ 2 θ + u w cos ⁡ 2 θ + v 2 = 0

Se a gente quer fazer o u w sumir, precisamos fazer:

cos ⁡ 2 θ = 0

A solução mais simples para isso, visto que cos ⁡ π 2 = 0 é:

2 θ = π 2

θ = π 4

Substituindo isso na equação:

u 2 sen ⁡ π 2 - w 2 sen ⁡ π 2 + u w cos ⁡ π 2 + v 2 = 0

Mas sen ⁡ π 2 = 1 e cos ⁡ π 2 = 0 , então:

u 2 - w 2 + v 2 = 0

E agora:

u 2 + v 2 = w 2

Que é exatamente a forma reduzida que vimos lá em cima! É o caso a = b = 1 .

Ou seja, provamos que a equação descreve uma quádrica cônica.

Resposta

Demonstração. A equação do enunciado pode ser reescrita como u 2 + v 2 = w 2 .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

7. Identificar as superfícies definidas pelas equações, dizendo ao longo de que eixo elas ocorrem, conforme o caso. g )z = x 2 + y 2 - 1
7. Identificar as superfícies definidas pelas equações, dizendo ao longo de que eixo elas ocorrem, conforme o caso. i )z = - x 2 + y 2
7. Identificar as superfícies definidas pelas equações, dizendo ao longo de que eixo elas ocorrem, conforme o caso. j )z = 3 - x 2 + y 2
7. Identificar as superfícies definidas pelas equações, dizendo ao longo de que eixo elas ocorrem, conforme o caso. l )x - y = 0
6. Identificar e representar graficamente as superfícies expressas pelas equações nos intervalos dados. k )y 2 + 4 z 2 = x ,0 ≤ x ≤ 4