Enunciado

Prove que, se r é uma reta tangente a hipérbole H , então todos os seus pontos, exceto o ponto de tangência, pertencem a região côncava determinada por H .

Passo 1

Esse exercício tem muito a ver com o fato de uma reta tangente a hipérbole separar os focos. Mas esse é o exercício 81, para esse exercício vamos nos basear no que foi feito no exercício resolvido 23 na página 322.

E para um ponto estar na região côncava o ponto ( u , v ) deve ser igual a:

u 2 p + v 2 q < 1

Enquanto a equação da reta tangente para um ponto de tangência P = ( h , k ) nos dá:

h x p + k y q = 1

E da equação 22 - 20 (página 321) nós teremos que para uma tangente Δ = 0 e m = h - u e n = k - v .

Δ = - n h - m k 2 + q m 2 + p n 2 = 0

E pelo exercício resolvido chegou-se a conclusão para H : x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 e no ponto ( u , v )

Δ = - 4 a 2 b 2 n 2 u 2 a 2 - v 2 b 2 - 1

O que nos dá Δ > 0 e que representa que ( u , v ) estará sempre na região côncava, exceto quando u = h e v = k que aí Δ = 0 e aí esse ponto pertence a hipérbole.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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