Enunciado

A figura 22-7 mostra um mapa onde figuram quatro estações transmissoras em terra, A ,   B ,   C e D . As estações B e C emitem simultaneamente sinais que são recebidos por um navio situado em P , e o sinal emitido por C chega ao navio com um atraso δ em relação ao emitido por B . As estações A e D operam do mesmo modo, emitindo simultaneamente seus sinais, sendo que o sinal emitido por D é recebido pelo navio com um atraso Δ em relação ao emitido por A . Explique como o pessoal de bordo pode estimar a posição do navio conhecendo a localização das estações e a velocidade v de propagação do sinal na atmosfera. Este é o princípio utilizado no método LORAN (long-rang navigation) de navegação.

Passo 1

Na resolução do problema, vamos supor que o navio está mais próximo do ponto A e B do que de C e D .

Sabemos que o som se propaga com velocidade v uniforme. Assim, durante um intervalo de tempo Δ t , o som percorre uma distância

d = v ⋅ Δ t

Passo 2

Suponha que o som demore um tempo t 1 para sair de B e chegar até P e um tempo t 2 para sair de C e chegar até P . Logo,

d B , P = v ⋅ t 1

d C ,   P = v ⋅ t 2

Subtraindo essas equações, temos

d C , P - d B , P = v t 2 - t 1

(observe que t 2 > t 1 , já que estamos supondo que C está mais distante de P do que B ). Porém, note que t 2 - t 1 = δ é o atraso citado no enunciado. Portanto,

d C , P - d B , P = v δ

Passo 3

Reconhecemos d C , P - d B , P = v δ como sendo a equação de uma hipérbole de focos C e B , com 2 a = v δ .

Passo 4

Da mesma forma, temos que d D , P - d A , P = v Δ e essa é uma equação de uma hipérbole de focos A e D , com 2 a = v Δ .

Passo 5

Agora, o computador irá localizar a posição do navio montando a equação das duas hipérboles e encontrar a intersecção entre elas!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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5.1.5 Determinar a equação e identificar a trajetória de um ponto que se move de maneira que sua distância ao ponto F = (6, 0) é sempre igual a duas vezes sua distância a reta 2x − 3 = 0
5.1.3. Escreva as equações das seguintes hipérboles: (a) Os focos são F1 = (3, −1) e F2 = (3, 4) e satisfaz | distância (P, F1) – distância (P, F2) | = 3;
Para todo ponto P =(m,n) na hipérbole H : x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 , mostre que a reta r :m x a 2 - n y b 2 = 1 tem apenas um ponto P em comum com H. A reta r chama-se a tangente de H no ponto P
Quais são as coordenadas dos focos da hipérbole x 2 9 - y 2 4 = 1
Quais são as coordenadas dos focos da hipérbole xy = 1?