Enunciado

Prove que o segmento que une os pontos médios dos lados não-paralelos de um trapézio é paralelo às bases, e sua medida é a média aritmética das medidas das bases.

Passo 1

Vamos usar como ilustração a figura abaixo. Ela ilustra o trapézio ABCD, sendo M e N os pontos médios, respectivamente, de AD e BC.

Antes de atacarmos o problema vamos recapitular o que queremos mostrar:

1 - Mostrar que o segmento que liga os pontos médios é paralelo às bases, ou seja,

M N → / / D C → e M N → / A B → .

2 - Mostrar a medida do segmento é a média aritmética das medidas das bases, ou seja,

M N → =   ‖ A B → ‖ + ‖ C D → ‖ 2    

Show de bola? Então vamos começar!

Para mostrar que o segmento que liga os pontos médios é paralelo às bases, se você reparar, no enunciado ele de cara nos dá uma informação que será bem importante para iniciarmos a questão: a palavrinha ponto médio.

Passo 2

Sabemos pelo enunciado que M e N são pontos médios. Ou seja,

M =   A + D 2

N =   C + B 2

Sabendo disso, vamos calcular a distância entre os pontos M e N:

M N → = N - M =   C + B 2 -       A + D 2 =     B - A 2 +     C - D 2 =   1 2 A B   → + 1 2 D C →

Como A B → / / D C → podemos dizer que existe um escalar k (diferente de zero, pois A B → e D C → não são vetores nulos) de forma que,

A B → = k   D C →

Sendo assim, podemos substituir o valor de A B →   lá na distância entre os pontos M e N. Vai ficar assim:

M N → =   1 2 A B   → + 1 2 D C → = k   D C → 2 + 1 2 D C →  

Dando aquela arrumada marota, ficamos com:

M N → =   k 2 +   1 2 D C →

Como M N → =   m D C → , onde m = k 2 +   1 2 , temos que M N → / / D C → .

Já que também temos que D C / → / A B → , teremos então que M N → / / A B → .

Passo 3

Para mostrar que a medida do segmento é a média aritmética das medidas das bases vamos aproveitar essa informação que achamos anteriormente,

A B → = k   D C →

Note que A B → = k   D C → ⇒ A B → = k D C → ⇒ A B → D C → = | k |

Essa divisão não tem problema, pois os vetores não são nulos. Além disso, como esses vetores possuem o mesmo sentido, temos que k é positivo. Desse modo, podemos apenas escrever que:

k =   A B → D C →

Portanto, teremos que

M N → =   k 2 +   1 2 D C →

‖ M N ‖ → = A B → 2 D C → +   1 2 D C → ⟺ ‖ M N ‖ → = A B → + D C → 2 D C → ‖ D C → ‖

Note que o numerador e o denominador da fração são escalares positivos. Portanto, podemos retirar o módulo e ficar apenas com

M N ‖ → = A B → + D C → 2 D C → ‖ D C →

Logo,

‖ M N ‖ → = A B → + D C → 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Sugestão para os próximos 2 exercícios: Considere o paralelogramo A B C D . Seja U =A B → e V =A D → . Observe que as diagonais do paralelogramo são U + V e U - V .
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Mostre que em um triângulo isósceles a mediana relativa à base é perpendicular à base.
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