Enunciado

Sejam w → ≠ 0 → e T o conjunto dos vetores ortogonais a w → . Prove que:

(a) w → não pertence a T ;

(b) qualquer combinação linear de vetores de T pertence a T;

(c) se u → e v → são dois vetores LI de T, então ( u → ,   v → ,   w → ) é LI;

(d) três vetores quaisquer de T são LD;

(e) se u → e v → são vetores LI de T, então u → e v → geram T, isto é, todo vetor de T é combinação linear de u → , v → (compare com o Exercício 6-18).

Passo 1

Vamos começar entendendo quem são os elementos do conjunto T.

Dois vetores não-nulos u → e v → são ortogonais entre si, quando o produto vetorial u → × v → = 0 . Assim, temos que T = {   v → ;   v → × w → = 0 } . Olhando o conjunto dessa forma, ficou fácil respondermos o item (a).

Item (a): Observe que para provarmos que   w → não pertence a T , temos que mostrar que w → × w → ≠ 0 . Como o enunciado nos diz que w → ≠ 0 → então, pela proposição 9-7 (pág. 75), temos que w → × w → > 0 . Logo, w → não pertence a T .

Passo 2

Item (b): Dizer que o vetor u → é uma combinação linear de vetores de T significa que u → =   α 1 v → 1 +   α 2 v → 2 + ⋯ +   α n v → n , com v → 1 ,   v → 2 ,   ⋯ ,   v → n elementos do conjunto T.

Para provarmos que u → pertence a T precisamos mostrar que u → × w → = 0 .

Mas,

*                 u → × w → = α 1 v → 1 +   α 2 v → 2 + ⋯ +   α n v → n × w → .

Utilizando a proposição 9-7 no termo a direita da igualdade acima, obtemos

* *                 α 1 v → 1 +   α 2 v → 2 + ⋯ +   α n v → n × w → = α 1 v → 1 × w → +   α 2 v → 2 × w → + ⋯ +   α n v → n × w → .

Novamente pela proposição 9-7, temos que para todo i = 1 ,   2 ,   ⋯ ,   n vale que

* * *                   α i v → i × w → =   α i   v → i × w → =   α i   0 = 0 ,

pois cada v → i pertence ao conjunto T.

Juntando as igualdades * ,   * * e * * * , temos que u → × w → = 0 , como queríamos.

Passo 3

Item (c): Assumindo que u → e v → são dois vetores LI de T, queremos mostrar que ( u → ,   v → ,   w → ) é LI. Faremos isso supondo, por absurdo, que ( u → ,   v → ,   w → ) não é LI.

Suponha que ( u → ,   v → ,   w → ) não é LI.

Temos então que ( u → ,   v → ,   w → ) é LD w → =   α 1 u → +   α 2 v → w → é uma combinação linear dos vetores u →   e   v → ). Logo, pelo item (b), w → pertence ao conjunto T.

Observe que w → ≠ 0 , visto que u → e v → são ambos diferentes de zero, pois são LI, e ( u → ,   v → ,   w → ) é LD. Dessa forma, temos w → ≠ 0 e w → ∈ T, o que é um absurdo pelo que já provamos no item (a).

Logo, ( u → ,   v → ,   w → ) é LI.

Passo 4

Item (d): Sejam u → 1 ,   u → 2 e u → 3 três vetores quaisquer de T, queremos provas que ( u → 1 ,   u → 2 ,   u → 3 ) é LI. Faremos isso de forma parecida como fizemos no item anterior.

Suponha, por absurdo, que ( u → 1 ,   u → 2 ,   u → 3 ) é LD. Então, fazendo a combinação linear desses três vetores, temos que u → =   z → + α 3   u → 3 com u → ≠ 0 e u → ∈ T (pelo item (b)).

Novamente, isso contradiz o resultado do item (a).

Dessa forma, dados três vetores quaisquer u → 1 ,   u → 2 e u → 3 em T, temos que ( u → 1 ,   u → 2 ,   u → 3 ) é LD.

Passo 5

Item (e): Para mostrarmos que u → e v → geram T, precisamos mostrar que dado um vetor qualquer z → de T, podemos escrevê-lo como uma combinação linear dos vetores u → e v → , isto é, z → = α 1 u →   +   α 2 v → .

Sejam u → e v → são vetores LI de T e z → um vetor qualquer de T. Temos que u → , v → e z → são três vetores quaisquer de T. Pelo item anterior, temos que ( u → , v → , z → ) é LD ⇒   z → = α 1 u →   +   α 2 v → , pois assumimos u → e v → LI.

Assim, como z → é uma combinação linear dos vetores u → e v → , temos que u → e v → geram T.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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