Enunciado

Prove: se A tem vetores coluna linearmente independentes e se b é ortogonal ao espaço coluna de A , então a solução de mínimos quadrados de A x = b é x = 0 .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Seja:

A = a 1 b 1       a 2 b 2

E:

X = x 1 x 2

b = u 1 u 2

Temos que:

A T A = a 1 a 2       b 1 b 2 a 1 b 1       a 2 b 2

E:

A T b = a 1 a 2       b 1 b 2 u 1 u 2

A T b = a 1 u 1 + b 1 u 2 a 2 u 1 + b 2 u 2

Temos então que:

a 1 u 1 + b 1 u 2 = 0

a 2 u 1 + b 2 u 2 = 0

Como b é ortogonal ao espaço da coluna de A , temos que:

A T b = 0

A solução dos mínimos quadrados é dada por:

A T A x = A T b

Ou:

A T A x = 0

Como A possui vetores de coluna linearmente independentes, podemos dizer que:

A T A ≠ 0

Portanto:

x = 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

10. Provar que p r o j g u ≤ u , para todo vetor u. Quanto vale a igualdade?
1. Sejam u = 1,2 , - 1 , v = 3,1 , 0 e w = 0,0 , 2 em R 3 . Calcular:a) u , u ; b) u , w ; c) u , v + w ; d) u , u ; e) u + v 2 ; f) u - v 2 .
9. Pelos exercícios 7 e 8 a função u↦ p r o j g u é uma transformação linear de R n em R n . Quais são seu núcleo o e sua imagem?
1. Sejam u = 1,2 , - 1 , v = 3,1 , 0 e w = 0,0 , 2 em R 3 . Calcular:a) u , u ; b) u , w ; c) u , v + w ; d) u , u ; e) u + v 2 ; f) u - v 2 .
1. Sejam u = 1,2 , - 1 , v = 3,1 , 0 e w = 0,0 , 2 em R 3 . Calcular:a) u , u ; b) u , w ; c) u , v + w ; d) u , u ; e) u + v 2 ; f) u - v 2 .