Enunciado

Mostre que os seguintes conjuntos de funções são subespaços de F - ∞ , ∞ .

a Todas as funções contínuas em - ∞ , ∞ .

b Todas as funções deriváveis em - ∞ , ∞ .

c Todas as funções deriváveis em - ∞ , ∞ que satisfazem f ' + 2 f = 0 .

Passo 1

Para que um determinado conjunto seja subespaço de um outro conjunto maior nós devemos ter que esse conjunto satisfaz duas condições que são as seguintes:

1 Sejam f   e   g pertencentes ao conjunto devemos ter que f + g também pertence à esse conjunto.

2 Sendo k um escalar qualquer devemos ter k ⋅ f seja pertencente ao nosso conjunto também.

Passo 2

Pois bem, para cada um dos casos descritos nos nossos itens devemos mostrar que as duas condições acima são satisfeitas. Dessa forma, tomemos duas funções f e g contínuas em - ∞ , ∞ e vamos verificar as duas condições acima começando da soma delas:Nós devemos nos lembrar que a soma e/ou subtração de duas funções contínuas é também, contínua. Além disso, a multiplicação por um escalar não afeta a questão da continuidade da função, portanto, esse conjunto de funções é também contínuo e então um subespaço de F - ∞ , ∞ .

Passo 3

Procedendo da mesma forma para as funções deriváveis em - ∞ , ∞ percebemos que somar duas funções deriváveis ou multiplicar uma função derivável por um escalar não vai afetar a sua diferenciabilidade e, assim, ela permanece derivável e é um subespaço de F - ∞ , ∞ .

Passo 4

Agora, para nosso último caso devemos encontrar primeiramente que conjunto de funções satisfaz a equação diferencial dada e, para isso, vamos resolver nossa EDO fazendo

f ' + 2 f = 0 → d f d x = - 2 f

d f f = - 2   d x

Integrando em ambos os lados

ln ⁡ f = - 2 x + c → f x = e c ⋅ e - 2 x

Como e c   é uma constante vamos chamar de c e assim teremos

f x = c ⋅ e - 2 x

Portanto, o nosso conjunto de funções que satisfaz a equação diferencial é f x = c ⋅ e - 2 x . Vamos, agora, verificar as duas condições dadas no passo 1 e para isso vamos tomar as seguintes funções

f x = c ⋅ e - 2 x     e   g x = a ⋅ e - 2 x

Dessa forma, vamos ter

f + g = e - 2 x ⋅ c + a

Como c + a é uma constante, a função f + g faz parte do conjunto de funções que resolvem a EDO. Além disso, se multiplicarmos nossa função por uma outra constante ela continuará satisfazendo nossa equação. Então, nosso conjunto é um subespaço de F - ∞ , ∞ .

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

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