Enunciado

Em relação a uma base ortonormal negativa E = a → ,   b → ,   c → , sejam u → = ( a 1 ,   b 1 ,   c 1 ) , v → = ( a 2 ,   b 2 ,   c 2 ) e w → = ( a 3 ,   b 3 ,   c 3 ) . Mostre que

u → ,   v → ,   w → = - a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3

Passo 1

Assim como no exercício 12-11, vamos tomar uma base F = a → ,   c → ,   b → que é positiva. Nessa base, os vetores são escritos como

u → = a 1 ,   c 1 ,   b 1 F

v → = a 2 ,   c 2 ,   b 2 F

w → = a 3 ,   c 3 ,   b 3 F

Como essa base é positiva, podemos aplicar o determinante:

u → ,   v → ,   w → = a 1 c 1 b 1 a 2 c 2 b 2 a 3 c 3 b 3

Passo 2

Quando invertemos duas colunas de um determinante, ele muda de sinal. Assim, podemo inverter a segunda coluna com a terceira e colocar um sinal de menos na frente:

u → ,   v → ,   w → = - a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3

Era essa relação que o exercício queria que a gente chegasse.

Resposta

Demonstração.

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Calcule o volume do paralelepípedo com lados adjacentes P Q ,P ReP S P ( 2,0 , - 1 ) Q ( 4,1 , 0 ) R ( 3 , - 1,1 ) S ( 2 , - 2,2 )
Encontre um vetor não nulo ortogonal ao plano que passa pelos pontos P ,Q ,R e calcule a área do trângulo P Q R . P - 1,3 , 1 Q 0,5 , 2 R 4,3 , - 1
Determine a área do paralelogramo com vértices em A - 2,1 ,B 0,4 ,C 4,2 ,D ( 2 , - 1 ) .
Mostre quec) U ⋅ V × α W 1 + β W 2 = α U ⋅ V × W 1 + β U ⋅ V × W 2 ;
Se U ,VeW são vetores no espaço, prove que U ⋅ V × W ≤ U V W . (Sugestão: use o Teorema 3.2 na página 172 e o exercício anterior)