Enunciado

Se U ,   V   e   W são vetores no espaço, prove que U ⋅ V × W ≤ U V W . (Sugestão: use o Teorema 3.2 na página 172 e o exercício anterior)

Passo 1

Eaew, belezinha? Bora começar mais um!!

A primeira coisa que vale a pena checar são as sugestões que o enunciado nos dá! Primeiro, o teorema indicado é o seguinte:

O produto escalar ou interno, V ⋅ W , entre dois vetores é dado por

V ⋅ W = v 1 w 1 + v 2 w 2 + v 3 w 3 ,

Se V = ( v 1 , v 2 , v 3 ) e W = ( w 1 , w 2 , w 3 ) são vetores no espaço.

Também temos o resultado do exercício anterior, onde mostramos que:

V × W ≤ V W

Vamos tentar usar isso para resolver o problema! Bora lá!

Passo 2

O teorema em si apenas nos define um produto escalar, no entanto, podemos lembrar que:

U ⋅ V × W = U V × W cos ⁡ ( θ )

E o módulo toma a forma:

U ⋅ V × W = U V × W cos ⁡ θ

Vamos lembrar de algumas outras coisinhas agora, beleza?

Passo 3

Nós temos que

cos ⁡ θ ≤ 1

Portanto, podemos garantir que

U V × W cos ⁡ θ ≤ U V × W

E utilizando a relação obtida no exercício anterior, podemos garantir que:

U ⋅ V × W ≤ U V | W

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

Ao longo dos passos!

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Calcule o volume do paralelepípedo com lados adjacentes P Q ,P ReP S P ( 2,0 , - 1 ) Q ( 4,1 , 0 ) R ( 3 , - 1,1 ) S ( 2 , - 2,2 )
Mostre qued) U * (V xx W) = U * [(V + alpha U + beta W) xx W] .
Mostre queb) U * [(alpha V_1 + beta V_2) xx W] = alpha U * (V_1 xx W) + beta U * (V_2 xx W) ;
Mostre quec) U * [V xx (alpha W_1 + beta W_2)] = alpha U * (V xx W_1) + beta U * (V xx W_2) ;