Enunciado

Em relação a uma base ortonormal positiva, são dados os vetores u → = 1 ,   2 ,   - 1 ,   v → = 0 ,   3 ,   - 4 ,   w → = ( 1 ,   0 ,   3 ) e t → = ( 0 ,   0 ,   2 ) . Calcule o volume do tetraedro A B C D , sabendo que A B → = P r o j v → u → , que A C → é o vetor oposto do versor de w → e que B D → = P r o j t → ( A B → ∧ A C → ) .

Passo 1

O volume do tetraedro A B C D é A B → ,   A C → ,   A D → 6 . Então, primeiro precisamos achar cada um desses vetores, vamo lá?

Passo 2

O vetor A B → , de acordo com o enunciado, é a projeção do vetor u → sobre o vetor v → , vamos usar a fórmula de projeção para calcular:

A B → = u → . v → v → . v → v →

A B → = 1 ,   2 ,   - 1 . 0 ,   3 ,   - 4 0 ,   3 ,   - 4 . 0 ,   3 ,   - 4 ( 0 ,   3 ,   - 4 )

A B → = 10 25 ( 0 ,   3 ,   - 4 )

A B → = 2 5 0 ,   3 ,   - 4 = 0 , 6 5 ,   - 8 5

Ebaaa, já encontramos um dos vetores :P vamos pros próximos!!

Passo 3

O vetor A C → é o vetor oposto do versor de w → né? Lembra o que é versor? É um vetor com mesma direção e sentido de w → mas seu módulo é 1, ou seja, vamos dividir w → pelo seu módulo pra normalizarmos ele e encontrarmos w ' → , seu versor.

O módulo de w → é

w → = 1 2 + 0 2 + 3 2 = 4 = 2

Agora, vamos dividir w → pelo seu módulo e aí teremos seu versor w ' → :

w ' → = 1 ,   0 ,   3 2

w ' → = 1 2 ,   0 , 3 2

Passo 4

Ebaaa, achamos o versor de w → !! Mas o exercício fala que A C → é o oposto dele, então, A C → = - w ' → :

A C → = - 1 2 ,   0 , 3 2

A C → = - 1 2 ,   0 , - 3 2

E então achamos nossa segunda aresta do tetraedro :D

Passo 5

Agora queremos a aresta A D → , mas não temos informação sobre ela, só sobre B D → .

Mas vamos pensar o seguinte: concorda que A B → + B D → = A D → ?? Então, como já temos A B → e podemos encontrar B D → , é só soma os dois e teremos A D → hahaha

Vamos encontrar B D → , o enunciado fala que ele é P r o j t → ( A B → ∧ A C → ) . Primeiro vamos calcular A B → ∧ A C → então:

A B → ∧ A C → = 0 , 6 5 ,   - 8 5 ∧ - 1 2 ,   0 , - 3 2

A B → ∧ A C → = - 3 3 5 , 4 5 , 3 5

Passo 6

Agora é só fazermos a projeção de A B → ∧ A C → no vetor t → :

B D → = - 3 3 5 , 4 5 , 3 5 . 0 ,   0 ,   2 0 ,   0 ,   2 . 0 ,   0 ,   2 ( 0 ,   0 ,   2 )

B D → = 6 5 4 ( 0 ,   0 ,   2 )

B D → = 6 20 0 ,   0 ,   2 = 3 10 ( 0 ,   0 ,   2 )

B D → = 0 ,   0 , 6 10 = 0 ,   0 , 3 5

Passo 7

Agora chegou o grande momento de encontrarmos A D → hehe

A B → + B D → = A D →

0 , 6 5 ,   - 8 5 + 0 ,   0 , 3 5 = A D →

A D → = 0 , 6 5 ,   - 5 5

A D → = 0 , 6 5 ,   - 1

Aeee, agora temos os 3 vetores que precisamos pra calcular o volume do tetraedro :P

Passo 8

Sabemos que o volume do tetraedro é dado por:

V = A B → ,   A C → ,   A D → 6

Primeiro vamos calcular A B → ,   A C → ,   A D → , e aí depois dividimos por 6:

A B → ,   A C → ,   A D → = 0 6 5 - 8 5 - 1 2 0 - 3 2 0 6 5 - 1 = 9 25

Agora vamos dividir por 6 e teremos o volume do tetraedro:

V = 9 25 6 = 9 25.6 = 3 50

Ufaa, terminamos

Resposta

V = 3 50

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