Enunciado

Em relação a um sistema ortogonal de coordenadas, A = ( 1 ,   2 ,   - 1 ) , B = ( 0 ,   1 ,   1 ) e C = ( 2 ,   0 ,   0 ) . Mostre que A , B e C são vértices de um triângulo equilátero.

Passo 1

Para mostrar que A , B e C são vértices de um triângulo equilátero, temos que fazer duas coisas: mostrar que os três pontos não são colineares e depois mostrar que eles são equidistantes.

Para mostrar que eles não são colineares, achamos os vetores

A B → = B - A = ( - 1 ,   - 1 ,   2 )

A C → = C - A = ( 1 ,   - 2 ,   1 )

Note que esses dois vetores não são paralelos. Isso prova que os três pontos não são colineares: os três pontos são vértices de um triângulo, só falta verificar se ele é equilátero.

Passo 2

Vamos calcular a distância entre os pontos:

d A B = 1 - 0 2 + 2 - 1 2 + - 1 - 1 2 = 1 + 1 + 4 = 6

d A C = 1 - 2 2 + 2 - 0 2 + - 1 - 0 2 = 1 + 4 + 1 = 6

d B C = 0 - 2 2 + 1 - 0 2 + 1 - 0 2 = 4 + 1 + 1 = 6

Como as distâncias entre os pontos são todas iguais, o triângulo é equilátero!

Resposta

Demonstração.

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