Enunciado

Sejam A = ( 3 ,   0 ,   - 1 ) , B = ( 0 ,   3 ,   0 ) , C = ( 5 ,   1 ,   - 2 ) e D = ( - 4 ,   1 ,   2 ) . Mostre que esses pontos são vértices de um trapézio e diga quais são as bases, os lados não-paralelos e as diagonais.

Passo 1

Temos que mostrar os pontos dados são vértices de um trapézio. Para isso, vamos achar todos os vetores possíveis entre os pontos:

A B → = B - A = ( - 3 ,   3 ,   1 )

A C → = C - A = ( 2 ,   1 ,   - 1 )

A D → = D - A = ( - 7 ,   1 ,   3 )

B C → = C - B = ( 5 ,   - 2 ,   - 2 )

D B → = B - D = ( 4 ,   2 ,   - 2 )

D C → = C - D = ( 9 ,   0 ,   - 4 )

Note que   D B → = 2   A C → . Assim, achamos os lados paralelos do trapézio!

Passo 2

Perceba também que:

D A → + A C → + C B → = - - 7 ,   1 ,   3 + 2 ,   1 ,   - 1 - 5 ,   - 2 ,   - 2 = 4 ,   2 ,   - 2 = D B →

Visualizando a figura, temos

D B é a base maior, A C a base menor, A D e C B são os lados não paralelos e D C e A B são as diagonais.

Resposta

Demonstração.

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Mostre que { A 1 , A 2 , A 3 , A 4 } é uma base de M 22 e expresse A como uma combinação linear dos vetores da base. A 1 = 1 1 1 1 , A 2 = 0 1 1 1 , A 3 = 0 0 1 1 , A 4 = 0 0 0 1 , A = 1 0 1 0
Seja v → = ( 1 ,1 ,2 ,- 3 ,1 ) . Encontre todos os escalares k tais que k v → = 4 .
Seja v → = ( - 2 ,3 ,0 ,6 ) . Encontre todos os escalares k tais que k v → = 5 .
Encontre u → ⋅ v → , u → ⋅ u → e v → ⋅ v → . u → = 3 ,1 ,4 ,v → = ( 2 ,2 ,- 4 ) u → = 1 ,1 ,4 ,6 ,v → = ( 2 ,- 2 ,3 ,- 2 )
Encontre a norma de v → , um vetor unitário de mesma direção e sentido de v → e um vetor unitário de mesma direção e sentido oposto de v → . v → = ( 4 , - 3 ) v → = ( 2 ,2 ,2 ) v → = ( 1 ,0 ,2 ,1 ,3 )