Enunciado

Em cada parte, determine se o operador matricial T   :   R 3   →   R 3 definido pelas equações é injetor e, se for, encontre a matriz canônica do operador inverso e encontre T - 1 ( w 1 ,   w 2 ,   w 3 ) .

Passo 1

(a)

Vamos lá! vamos começar organizando nossa matriz canônica de T , assim temos:

w 1 w 2 w 3 = 1 - 2 2 2 1 1 1 1 0 x 1 x 2 x 3

T = 1 - 2 2 2 1 1 1 1 0

det ⁡ T = 0 - 2 + 4 - 2 - 1 - 0 = - 1

Como det ⁡ T ≠ 0 , pelo teorema 4.10.2 nosso T é injetora.

Agora vamos calcular nosso T - 1 , assim temos.

T - 1 = 1 - 2 4 - 1 2 - 3 - 1 3 - 5

Logo T - 1 w 1 , w 2 , w 3 = x 1 - 2 x 2 + 4 x 3 ,   - x 1 + 2 x 2 - 3 x 3 ,   - x 1 + 3 x 2 - 5 x 3

Passo 2

(b)

Vamos lá! vamos começar organizando nossa matriz canônica de T , assim temos:

w 1 w 2 w 3 = 1 - 3 4 - 1 1 1 0 - 2 5 x 1 x 2 x 3

T = 1 - 3 4 - 1 1 1 0 - 2 5

Como L 1 + L 2 - L 3 = 0 a transformação não é injetora.

Passo 3

(c)

Vamos lá! vamos começar organizando nossa matriz canônica de T , assim temos:

w 1 w 2 w 3 = 1 4 - 1 2 7 1 1 3 0 x 1 x 2 x 3

T = 1 - 3 4 - 1 1 1 0 - 2 5

Como L 1 - L 2 - L 3 = 0 a transformação não é injetora.

Passo 4

(d)

Vamos lá! vamos começar organizando nossa matriz canônica de T , assim temos:

w 1 w 2 w 3 = 1 2 1 - 2 1 4 7 4 5 x 1 x 2 x 3

T = 1 2 1 - 2 1 4 7 4 - 5

det ⁡ T = - 5 + 56 - 8 - 7 - 16 - 20 = 0

Como det ⁡ T = 0 , pelo teorema 4.10.2 nosso T não é injetora.

Isso é tudo pessoal! \o/

Até a próxima!

Resposta

(a) T - 1 = 1 - 2 4 - 1 2 - 3 - 1 3 - 5

(b) Não é injetora

(c) Não é injetora

(d) Não é injetora

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Em cada parte, determine se o operador matricial T:R 2→R 2 definido pelas equações é injetor e, se for, encontre a matriz canônica do operador inverso e encontre T - 1 ( w 1 ,w 2 ) . w 1 = 8 x 1 + 4 x
Em cada parte, determine se a multiplicação por A é uma transformação matricial injetora. A = 1 - 1 2 0 3 - 4 A = 1 2 3 - 1 0 - 4 A = 1 2 1 0 1 1 1 1 0 1 0 - 1
Em cada parte, determine por inspeção a inversa do operador matricial injetor dado.A reflexão no plano x y em R 3 .
(a)Será injetora a composta de transformações matriciais injetoras? Justifique sua resposta.(b) Pode ser injetora a composta de uma transformação matricial injetora com uma transformação matricial que