Enunciado

(Requer Cálculo) O teorema fundamental do Cálculo implica que a integração e a derivação são ações que se cancelam mutuamente. Defina a transformação D : P n → P n - 1 por D p x = p ' x e defina J : P n - 1 → P n por

J p x = ∫ o x p t   d t  

  1. Mostre que D e J são transformações lineares.
  2. Explique por que J não é a transformação inversa de D .
  3. Será possível restringir o domínio ou contradomínio de D e J de tal modo que sejam transformações lineares inversas.

Passo 1

Show de bolinhas então galera, na letra (a) precisamos mostrar que as transformações são lineares. Então para D , seja uma transformação D : P n → P n - 1 que associa cada função f = f x á sua derivada, isto é,

D f = f ' ( x )

Pelas propriedades da derivação, temos

D f + g = D f + D g               e                 D k f = k D ( f )

Assim, D é uma transformação linear. E para J , a transformação J : P n - 1 → P n , dados qualquer constante k e quaisquer funções f e g em P n - 1 , as propriedades da integração garantem que

J k f = ∫ 0 x k f t   d t = k ∫ 0 x f t d t = k J ( f )

J f + g = ∫ 0 x f t + g t d t = ∫ 0 x f t d t + ∫ 0 x g t d t = J f + J g

Logo, J também é um operador linear.

Passo 2

Na letra (b), por exemplo se p x = a x + b é um polinômio de P n , então

D p x = D a x + b = a

Se J for a inversa de D , então J a = a x + b , MAAASSS calculando

J a = ∫ 0 x a d t = a t 0 x = a x + a 0 = a x

Ou seja, o termo b se perdeu nesse processo, logo existem vetores no domínio de D que não estão no contradomínio de J , portanto J não pode ser a inversa de D .

Passo 3

Como o problema de J ser a inversa de D , é o termo independente do polinômio p ( x ) , se o nosso espaço P n for o espaço de todos os polinômios que NÃO possuem o termo independente, então sim, podemos restringir o domínio de D para que seja igual ao contradomínio de J e nesse caso, J seria a inversa de D .

Resposta

  1. Demonstração.
  2. Demonstração.
  3. Demonstração.
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Sejam T A : R 3 → R 3 , T B : R 3 → R 3 e T C : R 3 → R 3 as reflexões nos planos x y ,x zey z , respectivamente. Verifique a Fórmula (8) com esses operadores.
Em cada parte, seja T : R 3 → R 3 a multiplicação por A . Determine se T tem uma inversa; se tiver, encontre. T - 1 x 1 x 2 x 3 A = 1 5 2 1 2 1 - 1 1 0 A = 1 4 - 1 1 2 1 - 1 1 0 A = 1 0 1 1 1 1 1 1 0
Sejam A e B matrizes semelhantes. Prove: A T e B T são semelhantes.Se A e B forem invertíveis, então A - 1 e B - 1 são semelhantes.
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