Enunciado

Resolva, na incógnita vec x , a equação 2 vec x - 3 vec u = 10 (vec x + vec v) .

Passo 1

Na prática, você pode resolver essa equação como se fosse uma equação algébrica normal isolando o “ x ”. Seria algo nesse sentido:

2 x - 3 u = 10 x + 10 v

- 10 v - 3 u = 8 x

x = - (10 v + 3 u)/(8) = - (5)/(4) v - (3)/(8) u

Aí é só colocar as setas de volta que chegamos na resposta. Essa é a conta que você vai fazer sempre. Mas a ideia desse capítulo do livro é definir todas essa operações de uma forma bem formal e organizada. Por isso, no passo seguinte vou explicar detalhadamente passagem por passagem!

Passo 2

Usando a propriedade M1, temos que

10 (vec x + vec v) = 10 vec x + 10 vec v

Assim, a equação fica

2 vec x - 3 vec u = 10 vec x + 10 vec v

Somando - 2 vec x dos dois lados da equação:

(- 2 vec x) + 2 vec x - 3 vec u = (- 2 vec x) + 10 vec x + 10 vec v

Usando a propriedade M2, temos que

(- 2 vec x) + 2 vec x = (- 2 + 2) vec x = 0 vec x = vec 0

(- 2 vec x) + 10 vec x = (- 2 + 10) vec x = 8 vec x

Com isso, a equação fica

vec 0 - 3 vec u = 8 vec x + 10 vec v

Como   vec 0 + vec a = vec a , temos que

- 3 vec u = 8 vec x + 10 vec v

Eu sei que todas essa operações são bem chatas, mas é bom seguir todo esse formalismo pelo menos uma vez na vida!

Passo 3

Agora nós somamos (- 10 vec v) dos dois lados da equação. Aqui vou escrever o resultado direto:

- 10 vec v - 3 vec u = 8 vec x

Por uma questão de comodidade, vou inverter os lados da equação:

8 vec x = - 10 vec v - 3 vec u

Agora multiplico os dois lados da equação por 1 // 8 :

(1)/(8) (8 vec x) = (1)/(8) (- 10 vec v - 3 vec u)

Usando a propriedade M1, temos que

(1)/(8) (8 vec x) = (1)/(8) (- 10 vec v) + (1)/(8) (- 3 vec u)

Por fim, aplicamos a propriedade M4 em todos os termos:

((1)/(8) * 8) vec x = (- (10)/(8)) vec v + (- (3)/(8)) vec u

Assim,

1 vec x = - (5)/(4) vec v - (3)/(8) vec u

Usando M3, temos que 1 vec x = vec x . Assim,

vec x = - (5)/(4) vec v - (3)/(8) vec u

Agora que você viu o método “formal e rigoroso” uma vez na vida, pode fazer do jeito que eu fiz no passo 1 sempre 😊

Resposta

vec x = - (5)/(4) vec v - (3)/(8) vec u

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Demonstrar que a → × b → = b → × c → = c → × a → , sabendo que a → + b → + c → = 0 → .
Determinar o vetor v → , paralelo ao vetor u → = ( 2 , - 1,3 ) , tal que v → . u → = - 42 .
Determinar o vetor v → , ortogonal ao eixo O y , v → . v → 1 = 8 e v → . v → 2 = - 3 , sendo v → 1 = ( 3,1 , - 2 ) e v → 2 = ( - 1,1 , 1 ) .
Dados os pontos A 4 , 0 , - 1 ,B ( 2 , - 2,1 ) e C ( 1,3 , 2 ) e os vetores u → = ( 2,1 , 1 ) e v → = ( - 1 , - 2,3 ) , obter o vetor x → tal que: B C - . v → x → = u → . v → v → - 3 x →
Determinar o vetor v → do espaço, sabendo que v → = 5 , v → é ortogonal ao eixo O x , v → . w → = 6 e w → = i → + 2 j → .