Enunciado

Prove que existe um quadrado ABCD tal que A = 1,0 , 0 , B = 3 , - 2,1 e C = 2,2 , 2 , e determine D (SO). Calcule as coordenadas do ponto H , sabendo que V H é altura da pirâmide de base A B C D e vértice V = 5,2 , - 5

Passo 1

Primeiro, vamos provar que a região A B C D determina um quadrado. Para isto, vamos calcular as distâncias entre os pontos. Então,

d A , B = 3 - 1 2 + - 2 - 0 2 + 1 - 0 2 = 2 2 + 2 2 + 1 2 = 3

d A , C = 2 - 1 2 + 2 - 0 2 + 2 - 0 2 = 1 2 + 2 2 + 2 2 = 3

d C , B = 3 - 2 2 + - 2 - 2 2 + 1 - 2 2 = 1 2 + 4 2 + 1 2 = 18

Então, como d A , B = d A , C , podemos ter um quadrado de lados A B e A C . Além disto, a diagonal será dado pelos segmentos C B e C D . Para confirmarmos a possibilidade de termos um quadrado, precisamos verificar que os segmentos A B e A C são perpendiculares. Para isto, basta checarmos:

A B → ⋅ A C → = 0

Então,

2 , - 2,1 ⋅ 1,2 , 2 = 0

2 - 4 + 2 = 0

0 = 0

Como obtivemos uma verdade, os segmentos são perpendiculares. Como eles tem o mesmo comprimento, existe sim um quadrado A B C D !

Passo 2

Agora, vamos determinar o ponto D . Para isto, basta fazermos a seguinte soma de ponto com vetor:

D = B + A C →

D = 3 , - 2,1 + 1,2 , 2

D = 4,0 , 3

E assim calculamos o último vértice do nosso quadrado!

Passo 3

Para finalizarmos, precisamos determinar as coordenadas do ponto H , sabendo que V H é a altura da pirâmide A B C D V de base A B C D .

Para isto, vamos precisar determinar inicialmente o plano π que contém o quadrado A B C D . Para isto, temos:

A B → ∧ A C → = i j k 2 - 2 1 1 2 2 = - 6 , - 3,6

Dividindo o vetor acima por 3, para facilitar nossas contas apenas, temos o seguinte vetor normal do plano π : n → = - 2 , - 1,2

Portanto, o plano π possui o seguinte formato:

π : - 2 x - y + 2 z + d = 0

Para descobrirmos o valor de d , basta substituirmos as coordenadas do ponto A . Então,

- 2 + d = 0

d = 2

Portanto, temos o plano π : - 2 x - y + 2 z + 2 = 0

Passo 4

Agora, podemos determinar o ponto H . Ele será dado pela interseção de uma reta n com o plano π .

Esta reta é perpendicular ao plano π e passa pelo ponto V . Então, a reta é:

n : X = 5,2 , - 5 + λ - 2 , - 1,2

Fazendo a interseção da reta com o plano, temos:

- 2 5 - 2 λ - 2 - λ + 2 - 5 + 2 λ + 2 = 0

- 10 + 4 λ - 2 + λ - 10 + 4 λ + 2 = 0

9 λ - 20 = 0

λ = 20 9

Portanto, o ponto H será:

H = 5 - 40 9 , 2 - 20 9 , - 5 , + 40 9

H = 5 9 , - 2 9 , - 5 9

E assim, terminamos a questão.

Resposta

D = 4,0 , 3

H = 5 9 , - 2 9 , - 5 9

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