Enunciado

O resultado do Exercício 15 tem um análogo para matrizes ortogonais 3 × 3 , como segue. Pode ser provado que a multiplicação ortogonal A de tamanho 3 × 3 é uma rotação em torno de algum eixo se d e t ⁡ A = 1 , e é uma rotação de algum eixo seguida por uma reflexão num plano coordenado se det ⁡ A = - 1 . Em cada parte, determine a multiplicação por A é uma rotação ou uma rotação seguida por uma reflexão.

(a) A = 3 7 2 7 6 7 - 6 7 3 7 2 7 2 7 6 7 - 3 7 (b) A = 2 7 3 7 6 7 3 7 - 6 7 2 7 6 7 2 7 - 3 7

Passo 1

E aí? Bora resolver mais essa?

(a) A = 3 7 2 7 6 7 - 6 7 3 7 2 7 2 7 6 7 - 3 7

det ⁡ A = 3 7 2 7 6 7 - 6 7 3 7 2 7 2 7 6 7 - 3 7 3 7 2 7 - 6 7 3 7 2 7 6 7 =

d e t ⁡ ( A ) = 3 7 ∙ 3 7 ∙ - 3 7 + 2 7 ∙ 2 7 ∙ 2 7 + 6 7 ∙ - 6 7 ∙ 6 7 - 6 7 ∙ 3 7 ∙ 2 7 - 3 7 ∙ 2 7 ∙ 6 7 - 2 7 ∙ - 6 7 ∙ - 3 7

det ⁡ A = - 27 343 + 8 343 - 216 343 - 36 343 - 36 343 - 36 343 = - 19 343 - 216 343 - 108 343 = - 19 343 - 324 343

det ⁡ A = - 343 343 = - 1  

É uma rotação seguida por uma reflexão.

Passo 2

(b) A = 2 7 3 7 6 7 3 7 - 6 7 2 7 6 7 2 7 - 3 7

det ⁡ A = 2 7 3 7 6 7 3 7 - 6 7 2 7 6 7 2 7 - 3 7 2 7 3 7 3 7 - 6 7 6 7 2 7 =

det ⁡ A = 2 7 ∙ - 6 7 ∙ - 3 7 + 3 7 ∙ 2 7 ∙ 6 7 + 6 7 ∙ 3 7 ∙ 2 7 - 6 7 ∙ - 6 7 ∙ 6 7 - 2 7 ∙ 2 7 ∙ 2 7 - 3 7 ∙ 3 7 ∙ - 3 7

det ⁡ A = 38 343 + 36 343 + 36 343 + 21 6 343 - 8 343 + 27 343 = 72 343 + 252 343 + 19 343 = 324 343 + 19 343

det ⁡ A = 343 343 = 1  

É uma rotação.

Resposta

(a) É uma rotação seguida por uma reflexão.

(b) É uma rotação.

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