Enunciado

As retas r : X = 1 ,   0 ,   0 + α   ( 0 ,   1 ,   1 ) , s : X = 0 ,   2 ,   0 + β   ( 1 ,   0 ,   1 ) e t : X = 0 ,   0 ,   3 + γ   ( 1 ,   1 ,   0 ) são concorrentes com h , respectivamente, nos pontos A , B e C . Sabendo que B é o ponto médio de A C , determine esses pontos e escreva uma equação vetorial de h .

Passo 1

O ponto A pertence à reta r , então ele deve ser do tipo

A = 1 ,   α ,   α

Já o ponto B , por pertencer a s , deve ser do tipo

B = β ,   2 ,   β

Por fim o ponto C é do tipo

C = γ ,   γ ,   3

Esses três pontos devem pertencer a reta h . Sendo assim, eles são colineares!

Passo 2

Como os três pontos são colineares, temos que

A B → = λ   A C →

Mas antes de fazermos isso, vamos olhar para outra informação do enunciado: B é ponto médio de A C . Assim,

A B → = B C →

Assim,

A B → = B - A = ( β - 1 ,   2 - α ,   β - α )

B C → = C - B = γ - β ,   γ - 2 ,   3 - β

Passo 3

Igualando os dois vetores:

β - 1 = γ - β 2 - α = γ - 2 β - α = 3 - β ⇒ γ = 2 β - 1 γ = 4 - α α = 2 β - 3

Igulando a primeira equação com a segunda:

2 β - 1 = 4 - α ⇒ α = 5 - 2 β

Assim,

α = 5 - 2 β α = 2 β - 3

Igualando as duas equações:

5 - 2 β = 2 β - 3

Portanto,

4 β = 8 ⇒ β = 2 ⇒ α = 1 ⇒ γ = 3

Logo,

A = ( 1 ,   1 ,   1 )

B = ( 2 ,   2 ,   2 )

C = ( 3 ,   3 ,   3 )

Passo 4

O vetor diretor da reta é

u → = B - A = ( 1 ,   1 ,   1 )

Uma possível equação para a reta é

X = 1 ,   1 ,   1 + λ   ( 1 ,   1 ,   1 )

Resposta

A = ( 1 ,   1 ,   1 )

B = ( 2 ,   2 ,   2 )

C = ( 3 ,   3 ,   3 )

X = 1 ,   1 ,   1 + λ   ( 1 ,   1 ,   1 )

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