Enunciado

Dentre as seguintes função, verificar quais são lineares.

T :   R 3 → R 2 ,     x ,   y ,   z → 2 1 3 - 1 0 - 2   x y z

Passo 1

A questão pede para verificarmos se a transformação é linear ou não. Aqui você deve lembrar que se uma transformação é linear, valem as seguintes propriedades:

T u + v = T u + T ( v )

T λ u = λ T ( u )

Neste caso, temos que primeiro achar T ( x ,   y ,   z ) . Fazendo o produto de matrizes:

2 1 3 - 1 0 - 2   x y z = 2 x + y + 3 z - x - 2 z

Portanto,

T x , y , z = ( 2 x + y + 3 z ,   - x - 2 z )

Agora que temos a transformação, vamos testar a primeira propriedade com u = ( a , b ,   c ) e v = ( d ,   e ,   f ) :

T u + v = T a + d ,   b + e ,   c + f = ( 2 a + 2 d + b + e + 3 c + 3 f ,   - a - d - 2 c - 2 f )

Separando em duas partes:

T u + v = 2 a + b + 3 c ,   - a - 2 c + ( 2 d + e + 3 f ,   - d - 2 f )

Note que os termos da direita são exatamente T ( u ) e T ( v ) :

T u + v = T u + T ( v )

A primeira propriedade é satisfeita!!!

Passo 2

Agora vamos olhar para a segunda propriedade:

T λ u = T λ a , λ b , λ c = ( 2 λ a + λ b + 3 λ c ,   - λ a - 2 λ c )

Tirando o λ para fora:

T λ u = λ   ( 2 a + b + 3 c ,   - a - 2 c ) = λ T ( u )

Como as duas propriedades são satisfeitas, vemos que T é linear!

Resposta

Sim

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