Enunciado

São dadas as coordenadas de u → e v → em relação a uma base ortonormal fixada. Calcule, em radianos, a medida angular entre u → e v → .

u → = 300 ,   300 ,   0             e             v → = - 2000 , - 1000 ,   2000

Passo 1

O exercício quer que achemos o ângulo θ entre os vetores, que é dado por

cos ⁡ θ = u → ⋅ v → u → v →

Assim, o primeiro passo é calcular o produto escalar:

u → ⋅ v → = 300 ,   300 ,   0 ⋅ - 2000 , - 1000 ,   2000 = - 600000 - 300000 + 0 = - 900000

Passo 2

Precisamos também das normas dos vetores:

u → 2 = 300 2 + 300 2 + 0 2 = 2 ⋅ 300 2 ⇒ u → = 300 2

v → 2 = ( - 2000 ) 2 + 1000 2 + 2000 2 = 1000 2 ⋅ ( 4 + 1 + 4 ) ⇒ v → = 3000

Passo 3

Assim,

cos ⁡ θ = - 900000 300 2 ⋅ 3000 = - 1 2 = - 2 2

Portanto,

θ = 3 π 4

Resposta

θ = 3 π 4

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Ache um vetor de norma 1, ortogonal a u →=( 1 , - 3,1 ) e a v →=( - 3,3 , 3 ) .
Determine o vetor u → sabendo que u → é combinação linear de ( 1 , - 3,0 ) e ( 0 , - 4,1 ) , u → é ortogonal a ( 0,1 , - 2 ) , | u | →=3 e u → forma um ângulo obtuso com k →= ( 0,0 , 1 ) .
Decomponha o vetor u →=( 3 , - 1,5 ) em uma soma de dois vetores a → e b → , sabendo que a → é paralelo ao vetor ( - 2 , - 4 , - 10 ) e b → é ortogonal ao vetor ( 0,0 , 1 ) .
Ache a projeção ortogonal de v →=( 1 , - 2,3 ) na direção de um eixo que forma ângulos iguais com os vetores da base ortonormal B=( i → , j → , k → ) .
Sejam O A →=( 1 , - 1,1 ) , O B →=( 2,1 , 0 ) e O C →=( - 2,3 , 1 ) .Calcule o comprimento dos lados do triângulo ABC.Calcule o coseno do maior ângulo do triângulo ABC.O triângulo ABC é acutângulo? Ex