Enunciado

Sejam O A →   =   ( 1 , - 1,1 ) , O B →   =   ( 2,1 , 0 ) e O C →   =   ( - 2,3 , 1 ) .

  1. Calcule o comprimento dos lados do triângulo ABC.
  2. Calcule o coseno do maior ângulo do triângulo ABC.
  3. O triângulo ABC é acutângulo? Explique sua resposta.

Passo 1

Fala, gente boa! Antes de mais nada, vamos usar as informações do enunciado e desenhar o triângulo:

  1. Para o item a), precisamos notar que A, B e C são os vértices do triângulo. Então, para obter o comprimento dos lados do triângulo, temos que descobrir o módulo dos vetores A B → , B C → e C A → já que essas são as arestas do triângulo. Assim,
  2. A B → = A O → + O B → = - O A → + O B → = - ( 1 , - 1,1 ) + ( 2,1 , 0 ) = ( 1,2 , - 1 )

    B C → = B O → + O C →   = - O B → + O C →   =   -   ( 2,1 , 0 ) +   ( - 2,3 , 1 ) = ( - 4,2 , 1 )

    C A → = C O → + O A → = - O C → + O A → = - ( - 2,3 , 1 ) +   ( 1 , - 1,1 ) = ( 3 , - 4,0 )

    Agora que conhecemos os vetores, podemos calcular seus módulos:

    | A B → | = 1 + 4 + 1 = 6

    | B C → | = 16 + 4 + 1 = 21

    | C A → | = 9 + 16 = 25 = 5

    Passo 2

  3. Como temos a relação

c o s   α   =   u →   ⋅ v → | u → | | v → |

só precisamos identificar qual é o maior ângulo. Na figura do Passo 1, vemos que é o ângulo do vértice B, que chamaremos de β . Assim,

c o s   α   =   B A →   ⋅ B C → | B A → | | B C → | = - A B →   ⋅ B C → | A B → | | B C → | = - ( 1,2 , - 1 ) ⋅ ( - 4,2 , 1 ) 6 21 = - ( - 4 + 4 - 1 ) 6 21 = 1 6 21 = 1 3 ⋅ 2 3 ⋅ 7 = 1 3 14

Resposta

  1. 6 , 21 e 5
  2. 1 3 14

Exercícios de Livros Relacionados

Determine os vetores unitários u → = x , y ,z B tais que a projeção ortogonal de u → sobre k → seja k → / 2 e a medida angular entre v → = x ,y ,0 B e i → seja π / 6 radianos.
Prove que, se lambda != 0 e vec u != vec 0 , então p r o j_vec u vec v = p r o j_lambda vec u vec v .
a) Mostre que, se u → é unitário, então p r o j u →v → = v → ⋅ u → u → .b) Seja B = ( i → ,j → ,k → ) uma base ortonormal. Mostre que todo vetor u → é a soma de suas projeções ortogonais sobre i → , j
Prove que as bissetrizes de ângulos adjacentes suplementares são perpendiculares.
a) No exercício resolvido anterior, suponha que u → , v → e w → sejam não-nulos, não necessariamente unitários. Pode-se ainda concluir que ( u → ,v → ,w → ) é base?c) Mostre que, se u → , v → e w → sã