Enunciado

Decomponha o vetor u →   =   ( 3 , - 1,5 ) em uma soma de dois vetores a →   e b → , sabendo que a →   é paralelo ao vetor ( - 2 , - 4 , - 10 )   e b → é ortogonal ao vetor ( 0,0 , 1 )   .

Passo 1

Pessoal, nessa questão vamos seguir o mesmo roteiro da questão anterior. Como a →   é paralelo ao vetor ( - 2 , - 4 , - 10 )   , então

a →   = ( - 2 m , - 4 m , - 10 m )  

onde devemos determinar m . Já b → = ( x , y , z ) é determinado pela condição de ortogonalidade com o vetor vetor vetor ( 0,0 , 1 )   :

b → ⋅ ( 0,0 , 1 ) = z = 0  

Então com isso já determinamos que z = 0 , restando apenas x , y e m .

Passo 2

A condição que falta analisarmos é a de que o vetor u →   =   ( 3 , - 1,5 ) em uma soma de dois vetores a →   e b → . Essa condição nos gera o sistema de equações:

u → = a →   + b → ⇒ ( - 2 m , - 4 m , - 10 m ) + ( x , y , 0 ) = ( - 2 m + x , - 4 m + y , - 10 m ) = ( 3 , - 1,5 )

⇒ - 2 m + x = 3

- 4 m + y = - 1

- 10 m = 5 ⇒ m = - 1 2

Opa! Já obtivemos m logo de cara. Então,

a → = ( - 2 m , - 4 m , - 10 m ) = ( 1,2 , 5 ) .

Passo 3

Agora, substituindo m nas equações restantes, obtemos

- 2 m + x = 3 ⇒ x = 3 + 2 m = 3 - 1 = 2

- 4 m + y = - 1 ⇒ y = - 1 + 4 m = - 1 - 2 = - 3

Logo, b → = ( 2 , - 3,0 ) .

Resposta

a → = ( 1,2 , 5 ) , b → = ( 2 , - 3,0 ) .

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