Enunciado

Encontre a distância entre as esferas x^2 + y^2 + z^2 = 4 e x^2 + y^2 + z^2 = 4 x + 4 y + 4 z - 11 .

Passo 1

Vamos analisar cada equação. Para x^2 + y^2 + z^2 = 4 , temos que é uma esfera de centro ( 0 , 0,0 ) e raio 2 .

Para a outra equação precisamos completar os quadrados e descobrir o centro, da seguinte forma:

( x^2 - 4 x ) + ( y^2 - 4 y ) + ( z^2 - 4 z ) = - 11

Transformando em produto notável, temos

(x^2 - 4 x + 4) + (y^2 - 4 y + 4) + (z^2 - 4 z + 4) = - 11 + 4 + 4 + 4

Logo,

(x - 2)^2 + (y - 2)^2 + (z - 2)^2 = 1

Assim o centro da esfera é dado pelo ponto ( 2 , 2,2 ) e de raio 1 . Tendo esses pontos podemos calcular a distancia, pela formula:

d = sqrt((x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2)

Onde x é o ponto final e x_0 é o ponto inicial. Então, resolvendo...

d = sqrt((2 - 0)^2 + (2 - 0)^2 + (2 - 0)^2)

d = sqrt(4 + 4 + 4) = sqrt(12) = 2 sqrt(3)

Subtraindo pelos raios, vamos ter que a distancia entre as esferas é:

d = 2 sqrt(3) - 2 - 1 = 2 sqrt(3) - 3

Prontinho!!

Resposta

d = 2 sqrt(3) - 3

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