Enunciado

Quais dos seguintes conjuntos de vetores geram o R 4 ?

a. 1,0 , 0,1 , 0,1 , 0,0 , 1,1 , 1,1 , 1,1 , 1,0 ;

Passo 1

Fala galera, tudo certo?

Queremos verificar se o conjunto de vetores geram o R 4 , para isso basta saber se o conjunto de vetores são linearmente independentes ou linearmente dependente, em outras palavras se o colocarmos os vetores em uma matriz e calcularmos o determinante e der 0 , então o sistema é linearmente dependente, isto é, possui uma linha ou uma coluna múltipla da outra ou ainda se escalonarmos a matriz obtermos uma linha ou uma coluna com zeros, assim o conjunto de vetores não geram o espaço. Caso o determinante for diferente de zero ou uma linha ou coluna não se anula temos que os vetores são linearmente independentes entre si ou seja geram o espaço.

Vamos colocar os vetores em uma matriz e escalona-la.

W = 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0

Agora, escalonando a matriz W obtemos

W ' = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

Dessa forma, os vetores do conjunto W são linearmente independentes, ou seja, o conjunto de vetores geram o R 4 .

Resposta

O conjunto W = 1,0 , 0,1 , 0,1 , 0,0 , 1,1 , 1,1 , 1,1 , 1,0 gera o R 4 .

Exercícios de Livros Relacionados

No problema, é apresentado um subconjunto de R 3 . Verificar se é subespaço em relação às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Se for subespaço, mostrar que as duas condições estão
Verificar se o subconjunto abaixo é subespaço de M ( 2 ,2 ) . S = a b 0 c ,a , b , c ∈ R (matrizes triangulares superiores)
Sejam os vetores v 1 = ( - 1 ,2 ,1 ) , v 2 = ( 1 ,0 ,2 ) e v 3 = ( - 2 ,- 1 ,0 ) . Expresse cada um dos vetores u = ( - 8 ,4 ,1 ) , v = ( 0 ,2 ,3 ) e w = ( 0 ,0 ,0 ) como combinação linear de v 1 , v
Seja S o subespaço do R 4 definido por: S = x , y , z , t ∈ R 4 ; x + 2 y - z = 0 ,t = 0 Pergunta-se: - 1 ,2 ,3 ,0 ∈ S ? 3 ,1 ,4 ,0 ∈ S ? - 1 ,1 ,1 ,1 ∈ S ?
Verificar se o subconjunto abaixo é subespaço de M ( 2 ,2 ) . S = a b c d ; c = a + b ,d = 0