Enunciado

Sejam os vetores v 1 = ( - 1 ,   2 ,   1 ) , v 2 = ( 1 ,   0 ,   2 ) e v 3 = ( - 2 ,   - 1 ,   0 ) . Expresse cada um dos vetores u = ( - 8 ,   4 ,   1 ) , v = ( 0 ,   2 ,   3 ) e w = ( 0 ,   0 ,   0 ) como combinação linear de v 1 , v 2 e v 3 .

Passo 1

Vamos resolver essa combinação linear pra um vetor genérico ( x , y , z ) , e depois a gente substitui pra cada um dos vetores u , v e w .

a v 1 + b v 2 + c v 3 = x , y , z

a - 1 ,   2 ,   1 + b 1 ,   0 ,   2 + c - 2 ,   - 1 ,   0 = x ,   y ,   z

- a + b - 2 c = x 2 a - c = y a + 2 b = z

Da segunda e da terceira:

c = 2 a - y

b = z - a 2

Substituindo na primeira:

- a + z - a 2 - 2 2 a - y = x

- 2 a + z - a - 8 a + 4 y = 2 x

11 a = - 2 x + 4 y + z

a = - 2 x + 4 y + z 11

Substituindo de volta na segunda e na terceira, vamos obter:

b = x - 2 y + 5 z 11

c = - 4 x - 3 y + 2 z 11

Beleza, agora é só a gente substituir as componentes de cada um dos vetores que a gente precisa.

Passo 2

Para o vetor u = ( - 8 ,   4 ,   1 ) , x = - 8 , y = 4 , z = 1 . Substituindo em a , b e c :

a = - 2 - 8 + 4 4 + 1 11 = 3

b = - 8 - 2 4 + 5 1 11 = - 1

c = - 4 - 8 - 3 4 + 2 1 11 = 2

Portanto,

u = 3 v 1 - v 2 + 2 v 3

Passo 3

Vamos repetir o processo para v = ( 0 ,   2 ,   3 ) , em que x = 0 , y = 2 e z = 3 :

a = 4 2 + 3 11 = 1

b = - 2 2 + 5 3 11 = 1

c = - 3 2 + 2 3 11 = 0

Daí,

v = v 1 + v 2

Passo 4

Falta só w = ( 0 ,   0 ,   0 ) , em que x = y = z = 0 :

a = 0

b = 0

c = 0

Assim,

w = 0 v 1 + 0 v 2 + 0 v 3

Resposta

u = 3 v 1 - v 2 + 2 v 3

v = v 1 + v 2

w = 0 v 1 + 0 v 2 + 0 v 3

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