Enunciado

4 Quais dos seguintes são subespaços de F()?

  1. Todas as funções f em F tais que f(0)=0.

Passo 1

Precisamos verificar as duas condições do Teorema.

O teorema diz que:

Se W for um conjunto de um ou mais vetores num espaço vetorial V , então W é um subespaço se, e só se, as condições seguintes forem validas.

(a) Se u e v forem vetores em W , então u + v está em W .

(b) Se a for um escalar qualquer e u algum vetor de W , então a u está em W .

Passo 2

Vamos verificar a primeira condição, tomando dois polinômios quaisquer desse conjunto:

f x ,     f 0 = 0

e

g x ,     g 0 = 0

Quando somamos duas funções f e g em F - ∞ ,   ∞ a soma delas permanece em F - ∞ ,   ∞ .

Só precisamos verificar que a função aplicada em zero permanece sendo zero

f 0 + g 0 = 0 + 0 = 0

E ela permanece sendo igual a zero, ou seja, a primeira condição é válida.

Passo 3

Agora vamos verificar a segunda condição, tomando um vetor qualquer:

f x ,     f 0 = 0

E um escalar qualquer: k

Multiplicando os dois teremos continuaremos tendo uma função em F - ∞ ,   ∞ . Precisamos verificar se a função aplicada em zero permanece sendo zero:

k ⋅ f 0 = k ⋅ 0

k ⋅ f 0 = 0

Que continua sendo igual a zero, ou seja, a segunda condição também é válida. Dessa maneira concluímos que essas funções são um subespaços de F - ∞ ,   ∞ .

Resposta

É um subespaço vetorial de F - ∞ ,   ∞ .

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