Enunciado

  1. Quais dos seguintes são subespaços de F - ∞ ,   ∞ ?

d) Todos os polinômios de grau 2.

Passo 1

Precisamos verificar as duas condições do Teorema.

O teorema diz que:

Se W for um conjunto de um ou mais vetores num espaço vetorial V , então W é um subespaço se, e só se, as condições seguintes forem validas.

(a) Se u e v forem vetores em W , então u + v está em W .

(b) Se a for um escalar qualquer e u algum vetor de W , então a u está em W .

Passo 2

Esse conjunto não pode ser um espaço vetorial, pois quando somamos dois polinômios com os coeficientes do x 2 iguais, mas de sinal contrario, vamos obter um polinômio de grau menor. Olha só:

p 1 x = a + b x + c x

e

p 2 x = d + e x - c x

Quando somamos eles:

p 1 x + p 2 x = a + b x + c x + d + e x - c x

Podemos agrupar os termos semelhantes:

p a x + p b x = a + d + b + e x + c - c x 2

p a x + p b x = a + d + b + e x

Esse não é mais um polinômio de grau 2, dessa forma esse conjunto não é fechado na soma, ou seja, a primeira condição não é válida.

Resposta

Não é um subespaço vetorial de F - ∞ ,   ∞ .

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