Responde Aí

Enunciado

Segundo a Geometria Elementar, se D é um ponto do lado BC do triângulo ABC então a reta AD é bissetriz do ângulo BÂC se, e somente se, A B ∙ C D = A C ∙ B D . Use este fato para mostrar que a tangente á hipérbole x 2 9 - y 2 4 = 1 no ponto 3 5 ,   4 é a bissetriz do ângulo F P F ' , onde F e F’ são os focos da hipérbole

Passo 1

Falaaa, blz??? Bom, para começar essa questão vamos usar o desenho para nos ajudar a entender como aplicar tal teorema:

Pela equação da nossa hipérbole, temos que:

a = 3 ,   b = 2   e   c = 13   ( p i t a g o r a s )

Ou seja, como queremos mostrar que a tangente que passa no ponto P, dado no enunciado, é a bissetriz do ângulo FPF’, o que queremos na verdade é achar um ponto D no segmento FF’ que pertença à reta tangente e checar se esse segmento PD é bissetriz do ângulo FPF’

Passo 2

Vamos usar a informação da questão 2 para nos ajudar, pois precisamos achar o ponto no segmento FF’ (no desenho F 1 F 2 ) que pertence á reta tangente em P

Com isso, temos que:

r :   3 5 x 9 - 4 y 4 = 1

Como queremos um ponto D no segmento FF’, ele tem y=0, logo:

3 5 x 9 = 1     → x = 9 3 5 = 3 5 5

Ou seja, temos algo do tipo:

Com:

D = 3 5 5 , 0 ,     F = 13 , 0 ,       F ' = - 13 , 0 ,         P = ( 3 5 , 4 )

Agora vamos focar no triângulo FPF’

Passo 3

Queremos mostrar que:

P F ' ∙ F D = P F ∙ F ' D

Se isso ocorrer, temos que de fato a tangente é bissetriz.

P F ' =   3 5 + 13 2 + 4 2

F D = 3 5 5 - 13 2

P F =   3 5 - 13 2 + 4 2

F ' D =   3 5 5 + 13 2

Colocando na equação: 3 5 + 13 2 + 4 2 ) 3 5 5 - 13 2 = ( 3 5 - 13 2 + 4 2 ) 3 5 5 + 13 2

Queremos ver se isso é verdade.

3 5 + 13 2 + 4 2 ) 3 5 5 - 13 2 =

= 45 + 13 + 6 65 + 16 9 5 25 + 13 - 6 5 65

= 74 + 6 65 74 - 6 65 5

=

Outro:

( 3 5 - 13 2 + 4 2 ) 3 5 5 + 13 2 =

= 45 + 13 - 6 65 + 16 9 5 25 + 13 + 6 5 65

74 - 6 65 74 + 6 65 5

Agora fica bem mais fácil enxergar que ambos são iguais, logo, como a igualdade é verdadeira, provamos que a tangente é também bissetriz.

Exercícios de Livros Relacionados

Uma pessoa cujo peso é 5,20 10 2 N está sendo puxada para cima vertica
Uma pequena esfera é pendurada por uma corda no teto de uma van. Quand
Mostre que o comprimento de atenuação Λ é igual à distância média que
Deve-se usar a expressão relativística para a energia cinética do elét
Use os dados da figura 2-17 para calcular a espessura de uma lâmina de