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Seja T x , y , z = 2 x + y , x + y + z , y - 3 z de R 3 em R 3 com produto interno canônico.

  1. Mostre que T é um operador auto-adjunto mas não ortogonal.
  2. Se v = ( 2 , - 1,5 ) e w = ( 3,0 , 1 ) , verifique que < T v ,   w >   =   < v , T w > .
  3. Exiba uma base de autovetores de T e verifique que é uma base ortogonal. A partir desta base, escreva uma base ortonormal.

Passo 1

  1. Bom, pra mostrar que ele é auto-adjunto devemos primeiro escrever a matriz da transformação na base canônica do R 3 .
  2. Para isso, vamos calcular a imagem da base canônica dessa, veja:

    T 1,0 , 0 = ( 2,1 , 0 )

    T 0,1 , 0 = ( 1,1 , 1 )

    T 0,0 , 1 = ( 0,1 , - 3 )

    Então a matriz da transformação é:

    2 1 0 1 1 1 0 1 - 3

    Veja que essa matriz é simétrica, então o operador é auto adjunto.

    Para mostrar que ele não é ortogonal, vamos multiplicar a matriz dada pela sua transposta, que é igual a ela mesma, pois é simétrica. Veja:

    2 1 0 1 1 1 0 1 - 3 2 1 0 1 1 1 0 1 - 3 = 5 3 1 3 3 - 2 1 - 2 9

    Como não resultou na matriz identidade, sua transposta não é sua inversa e o operador não é ortogonal.

    Passo 2

  3. Vamos calcular as imagens dos vetores dados:
  4. T 2 , - 1,5 = ( 3,6 , - 16 )

    T 3,0 , 1 = ( 6,4 , - 3 )

    Agora vamos calcular:

    < T v , w >   =   < 3,6 , - 16 , 3,0 , 1 > = 9 - 16 = - 7

    < v , T w >   =   < 2 , - 1,5 , 6,4 , - 3 > = 12 - 4 - 15 = - 7

    Então, < T v , w >   =   < v , T w > .

    Passo 3

  5. Primeiramente devemos calcular seus autovalores:

det ⁡ λ I - 2 1 0 1 1 1 0 1 - 3 = 0

Ou seja:

λ - 2 - 1 0 - 1 λ - 1 - 1 0 - 1 λ + 3 = 0 ⇒ - λ 3 + 9 λ - 5 = 0

As raízes dessa equação não são simples e podem ser encontradas com ferramentas computacionais.

Usando ferramentas computacionais, temos a seguinte base de autovetores APROXIMADOS:

0,047 - 0,247 1 , - 2,513 3,577 1 , 8,466 5,670 1

Que é ortogonal, como você pode verificar fazendo o produto escalar dois a dois.

Resposta

  1. Demonstração;
  2. Demonstração;
  3. 0,047 - 0,247 1 , - 2,513 3,577 1 , 8,466 5,670 1 .

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