Enunciado

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Seja V = R 2 . Sejam v 1 = ( x 1 , y 1 ) e v 2 = x 2 , y 2 . Se f v 1 ,   v 2 = 2 x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 2 y 1 + y 1 y 2 , mostre que f é um produto interno.

Passo 1

Pra demonstrar que se trata de um produto interno, devemos verificar as quatro propriedades:

  1. < v , v >   = 2 x 1 2 + x 1 x 2 + x 1 x 2 + x 2 2 = x 1 + x 2 2 + x 1 2 ≥ 0

    A igualdade somente ocorre se x 1 = - x 2 = 0 .

  2. < α v 1 , v 2 ≥ 2 α x 1 x 2 + α x 1 y 2 + α x 2 y 1 + α y 1 y 2 = α 2 x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 2 y 1 + y 1 y 2 = α < v 1 , v 2 >
  3. < v 1 + v 2 , v 3 >   = 2 x 1 + x 2 x 3 + x 1 + x 2 y 3 + x 3 y 1 + y 2 + y 1 + y 2 y 3 = < v 1 , v 3 > + < v 2 , v 3 >
  4. < v 1 , v 2 >   = 2 x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 2 y 1 + y 1 y 2 = 2 x 2 x 1 + x 2 y 1 + x 1 y 2 + y 2 y 1 =   < v 2 , v 1 >

Resposta

Demonstração.

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Em relação ao produto interno do Exemplo de 8.3.2 calcule x de modo qu
Seja β = { 1,2 , ( 2,1 ) } . Use o processo de Gram-Schmidt para achar
Considere em R 3 o produto interno < x , y , z , x ' , y ' , z ' &g
Seja V = R 3 e S = { 1,0 , 1 , 1,1 , 0 , ( 2,1 , 1 ) } .Encontre S ⊥ .
Seja β = { 1,1 , 0 , 1,0 , 1 , ( 0,2 , 0 ) } . Ache uma base ortonorma