Enunciado

Seja β = { 1,2 , ( 2,1 ) } . Use o processo de Gram-Schmidt para achar uma base ortonormal β ' de R 2 em relação ao produto interno usual.

Passo 1

Bom, para começar, a gente tem que definir o vetor que vai ficar fixo. Vamos escolher u 1 = ( 1,2 ) .

Passo 2

Para a gente achar o u 2 , basta que a gente lembre do método, veja:

u 2 = 2,1 - < 2,1 , 1,2 > 1,2 < 1,2 , 1,2 >

Usando o produto escalar normal, vem:

< 2,1 , 1,2 >   = 2 + 2 = 4

< 1,2 , 1,2 >   = 1 + 4 = 5

Ou seja:

u 2 = 2,1 - 4 5 1,2 = 6 5 ,   - 3 5

Passo 3

Bom, agora a gente só precisa dividir cada vetor pelo seu módulo para normalizá-lo. Fazendo isso, temos a base.

Resposta

β ' = 1 5 , 2 5 , 2 5 ,   - 1 5

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