Propriedades do Produto Interno

Teoria Completa

Já estamos sabendo pra caramba sobre produto interno e suas propriedades né? Bom, vamos rever algumas?

Temos a linearidade do produto interno:

α v + β u , w = α v , w + β u , w

Também podemos escrever a norma de um vetor através dele:

v = v , v

Ou até mesmo achar o ângulo entre dois vetores:

cos ⁡ θ = u , v u ∙ v

E dessa última fórmula temos que o produto interno entre vetores ortogonais vale zero, lembra?

Ta, mas por que eu to falando isso tudo aqui? Bom o fato é que essas propriedades são muito úteis para provar coisas ou resolver problemas de implicações!

Em situações desse tipo, o que vamos fazer na maioria das vezes é aplicar o produto interno em ambos os lados a fim de chegar ao resultado que queremos provar. Vamos ver alguns exemplos:

Prove que um conjunto ortogonal de vetores não-nulos é linearmente independente.

Bom, esse tipo de questão não tem fórmula de bolo. Vamos começar definindo o conjunto ortogonal abaixo:

v 1 , v 2 , … , v n

Sabemos que, se esse conjunto for L I , temos que:

α 1 v 1 + α 2 v 2 + … + α n v n = 0 ⇒ α 1 = α 2 = … = α n = 0

Bom, façamos o produto interno de um vetor v i desse conjunto, com a combinação dos demais, dessa forma:

v i , α 1 v 1 + α 2 v 2 + … + α n v n = v i , 0 = 0

Pela linearidade do produto interno podemos separá-lo da seguinte maneira:

v i , α 1 v 1 + α 2 v 2 + … + α n v n = α 1 v i , v 1 + α 2 v i , v 2 + … + α i v i , v i + … + α n v i , v n

Além disso, sabemos que esse vetor v i é ortogonal à todos os outros vetores do conjunto com exceção dele mesmo, então nossa igualdade se reduz à:

α i v i , v i = 0 ⇒ α i v i 2 = 0

Como v i ≠ 0 já que é um conjunto de vetores não-nulos, essa igualdade implica em:

α i = 0

Com isso, provamos que o conjunto é L I .

Bom, é isso galera. O que temos que fazer é ir manipulando as propriedades do jeito que for mais conveniente pra gente. O único jeito é praticando, então vamos fazer uns exercícios ;)

Expandir

Exercício Resolvido #1

Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 164 – Ext 5.8

Sejam v 1 , v 2 , … , v n vetores ortogonais dois a dois, isto é, v i v j = 0 se i ≠ j . Prove que

v 1 + … + v n 2 = v 1 2 + … + v n 2

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Passo 1

-

Primeiro vamos reescrever essa equação de um jeito mais conveniente para nós. Sabemos que:

v = v , v

Logo,

v 1 + … + v n , v 1 + … + v n = v 1 , v 1 + … + 〈 v n , v n 〉

Pela linearidade do produto interno, temos que o lado esquerdo da equação fica:

v 1 + … + v n , v 1 + … + v n = v 1 , v 1 + … + v n + … + v n , v 1 + … + v n

E, usando novamente a linearidade e o fato dos vetores serem ortogonais, temos:

v i , v 1 + … + v n = v i , v 1 ⏟ 0 + … ⏟ 0 + v i , v i + … ⏟ 0 + v i , v n ⏟ 0 = 〈 v i , v i 〉

Portanto,

v 1 , v 1 + … + v n + … + v n , v 1 + … + v n = v 1 , v 1 + … + 〈 v n , v n 〉

como queríamos demonstrar.

Resposta

Exercício Resolvido #2

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Álgebra Linear, 2ª ed., São Paulo, Pearson, 1987, pp. 143. – 10

Provar que se u e v são vetores de um espaço vetorial euclidiano, então:

a   u ⊥ v implica u + v 2 = u 2 + v 2

b   u + v ⊥ u - v implica u = v

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Passo 1

a Primeiro vamos tirar o problema de norma e trazer pra produto interno, Sabemos que:

v 2 = v , v

Logo temos que provar que

u + v , u + v = u , u + v , v

Desenvolvendo o lado esquerdo usando a linearidade do produto interno:

u + v , u + v = u , u + u , v + v , u + v , v

Como u ⊥ v , então u , v = v , u = 0 , logo a equação acima se reduz a:

u + v , u + v = u , u + v , v

E está provado.

Passo 2

-

b Como v 2 = v , v , temos que:

u = v ⇔ u , u = v , v ⇔ u , u = v , v

E como u + v ⊥ u - v ,

u + v , u - v = 0

Portanto, precisamos provar que:

u + v , u - v = 0 ⇒ u , u = v , v

Desenvolvendo o lado esquerdo da implicação e usando da linearidade do produto interno:

u + v , u - v = u , u + v , u - u , v - v , v = 0

Além disso, pela simetria do produto interno u , v = 〈 v , u 〉 , a igualdade se reduz à:

u , u - v , v = 0 ⇒ u , u = v , v

E está provado ;)

Resposta

Exercício Resolvido #3

PUCRIO-P3-2015.1-3c

No espaço vetorial R n , dizemos que uma transformação linear T : R n ⟶ R n é positiva definida se, para todo vetor v ∈ R n não nulo, tem-se v ,   T v > 0 .

Mostre que se T é positiva definida e u , v ∈ R n são vetores não nulos tais que u ,   T v = 0 , então { u , v } é linearmente independente. (Dica: Escreva as hipóteses e tente verificar a definição de { u , v } ser linearmente independente).

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Passo 1

Para que u e v sejam linearmente independentes, precisamos que a igualdade

a u + b v = 0

seja satisfeita apenas se a = b = 0 . Para isso, vamos aplicar o produto interno dos dois lados com o vetor T ( v ) .

a u + b v ,   T v = 0 , T v ⇒

a u , T v + b v ,   T v = 0 ⇒

a u , T v + b v ,   T v = 0

Mas, por hipótese sabemos que u ,   T v = 0 . Aplicando isso:

b v ,   T v = 0

Mas como T é positiva definida sabemos que v ,   T v > 0 , logo o único jeito do produto acima dar zero é com b = 0 .

Passo 2

-

Sabendo que b = 0 , vamos voltar para nossa primeira equação.

a u + b v = 0

Aplicando que b = 0 :

a u = 0

Mas como sabemos que u é não nulo, o único jeito desse produto dar zero é com a = 0 . E se a = 0 e b = 0 então { u , v } é L I .

Resposta

Exercício Resolvido #4

Lista 2 para a p2, Álgebra Linear I, 2015.1, Produto Interno, exercício 3)

Seja u 1 , … , u k ⊂ R n um conjunto ortogonal e u = a 1 u 1 + … + a k u k . Mostre que

a j = u , u j u j 2

Conclua que se { u 1 , … , u k } é um conjunto ortonormal, então a j = 〈 u , u j 〉 para j = 1 , … k .

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Passo 1

Primeiro de tudo, vamos entender o que o enunciado pede. O enunciado pede para mostrar que qualquer COEFICIENTE de um vetor do conjunto, ou seja, um a j ∈ R para j = 1 , … , k , pode ser escrito na forma indicada.

O u j simboliza qualquer vetor do conjunto.

Passo 2

Agora que já entendemos o que significa o enunciado, vamos começar a provar. Lembre-se que existe um vetor u j qualquer ai dentro, que não sabemos em que lugar se encontra. Então vamos pegar:

u = a 1 u 1 + … + a j u j + … + a k u k

E aplicar o produto interno dos dois lados, com esse vetor qualquer do conjunto u j :

u , u j = a 1 u 1 + … + a j u j + … + a k u k , u j

Pelas propriedades do produto interno podemos separar o lado direito da equação acima em:

u , u j = a 1 u 1 , u j + … + a j u j , u j + … + a k u k , u j ⇒

u , u j = a 1 u 1 , u j + … + a j u j , u j + … + a k u k , u j

Passo 3

Ahhh, então como o conjunto é ORTOGONAL, ou seja, todos os vetores são ortogonais entre si, podemos zerar tudo! Opa, calma aí! Quase todos são ortogonais.

Lembre-se que você está fazendo o produto interno com um dos vetores do próprio conjunto! Como u j não é ortogonal com u j , afinal são o mesmo vetor, o produto interno deles dá diferente zero. E mais! Ele é u j , u j = u j 2 . Assim nossa expressão se resume à:

u , u j = a 1 u 1 , u j ⏟ 0 + … ⏟ 0 + a j u j , u j + … ⏟ 0 + a k u k , u j ⏟ 0 ⇒

u , u j = a j u j , u j ⇒

u , u j = a j u j 2 ⇒

a j = u , u j u j 2

Passo 4

Agora só falta ver o que acontece se o conjunto for ortonormal. Ahh então vamos ter que provar tudo de novo? Não seria necessário; a única diferença é que além dos vetores serem ortogonais, agora eles também são unitários, ou seja, têm norma igual a 1 .

Logo, u j = 1 ∴ u j 2 = 1 . E assim:

a j = u , u j 1 ⇒

a j = 〈 u , u j 〉

Passo 5

-

Uma observação importante. O que exatamente acabamos de provar? Significa que se temos uma base ortogonal para R n , por exemplo, podemos escrever qualquer vetor como C L dos vetores da base SÓ QUE com os coeficientes:

a j = u , u j u j 2

Assim, podemos escrever u como:

u = u , u 1 u 1 2 u 1 + … + u , u k u k 2 u k

Essa relação vale sempre para bases ortogonais! Se for ortonormal, só botar o módulo igual a 1. XD

Resposta

Exercício Resolvido #5

IME USP, Lista 2016/2, Professor Kostiatyn Iusenko

Mostre que vale a identidade dada com vetores de qualquer espaço com produto interno.

u + v 2 + u - v 2 = 2 u 2 + 2 v 2

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Passo 1

Provar isso parece difícil mas você vai ver que é mel na chupeta hahahaha olha, temos a relação:

u + v 2 + u - v 2