Enunciado

1. (a) Mostre que a matriz

A = 4 5 0 - 3 5 - 9 25 4 5 - 12 25 12 25 3 5 16 25

é ortogonal de três maneiras: calculando A T A , usandoa parte b do Teorema 7.1.1 e usando a parte ( c ) do Teorema 7.1.1

(b) Encontre a inversa da matriz A da parte ( a )

Passo 1

(b) Pela definição temos que quando a matriz é ortogonal:

A T = A - 1

Passo 2

Primeiro o que é matriz transposta, é a troca das linhas pelas coluna

B = a b c d e f g h i

B T = a d g b e h c f i

Passo 3

Calculando a transposta de A

A = 4 5 0 - 3 5 - 9 25 4 5 - 12 25 12 25 3 5 16 25

A T = 4 5 - 9 25 12 25 0 4 5 3 5 - 3 5 - 12 25 16 25

Passo 4

Relembrando da definição

A T = A - 1

A - 1 = 4 5 - 9 25 12 25 0 4 5 3 5 - 3 5 - 12 25 16 25

Resposta

A - 1 = 4 5 - 9 25 12 25 0 4 5 3 5 - 3 5 - 12 25 16 25

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Em cada parte, determine se os vetores dados são ortogonais em relação ao produto interno euclidiano. u = - 1,3 , 2 , v = 4,2 , - 1 u = - 2 , - 2 , - 2 , v = 1,1 , 1 u = u 1 , u 2 , u 3 , v = 0,0 , 0
Suponha que R 4 tenha o produto interno euclidiano. Encontre dois vetores unitários que sejam ortogonais a cada um dos três vetores u = 2,1 , - 4,0 , v = - 1 , - 1,2 , 2 e w = 3,2 , 5,4 .
Em cada parte, verifique a validade da desigualdade de Cauchy-Schwarz para os vetores dados usando o produto interno euclidiano. u = 3,2 , v = 4 , - 1 u = - 3,1 , 0 , v = 2 , - 1,3 u = - 4,2 , 1 , v =
4. Prove que se A for ortogonal, então A T será ortogonal.
Consideremos o subespaço S = x , y , z x - z = 0 } com o produto interno x , y , z ⋅ x ' , y ' , z ' = 2 x x ' + 3 y y ' + 4 z z ' Determinar S ⊥ e uma base de S ⊥ .