Enunciado

Encontre o volume do paralelepípedo de arestas u , v e w .

u = 2 ,   - 6 ,   2 , v = 0 ,   4 ,   - 2 , w = ( 2 ,   2 ,   - 4 )

Passo 1

Nessa questão, vamos usar do produto escalar e do produto vetorial. O volume do paralelepípedo é dado por:

V = u ∙ v × w

Passo 2

Vamos calcular então o produto v × w

v × w = i ^ j ^ k ^ 0 4 - 2 2 2 - 4

v × w = i ^ 4 - 2 2 - 4 - j ^ 0 - 2 2 - 4 + k ^ 0 4 2 2

v × w = i ^ - 16 - ( - 4 ) - j ^ 0 - ( - 4 ) + k ^ 0 - 8

v × w = - 12 i ^ - 4 j ^ - 8 k ^

Passo 3

Agora, resta calcular o módulo de u ∙ v × w . Vamos então calcular esse produto escarlar

u ∙ v × w = 2 ,   - 6 ,   2 - 12 ,   - 4 ,   - 8

u ∙ v × w = 2 × ( - 12 ) + - 6 × ( - 4 ) + 2 × ( - 8 )

u ∙ v × w = - 24 + 24 + - 16

u ∙ v × w = - 16

Passo 4

Agora, o módulo u ∙ v × w é dada por u ∙ v × w = - 16         ∴             u ∙ v × w = 16

Resposta

16

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Resolva a equação i → ∧ x → ∧ i → + x → ∧ j → ∧ j → + x → ∧ k → ∧ k → = 0 →
Aponte, na dedução de [11-4], onde foi usada a ortonormalidade de B e onde foi necessário que V 3 estivesse orientado.
Determine x → de norma 3 , ortogonal a ( 1 ,1 ,0 ) e a ( - 1 ,0 ,1 ) , e que forma ângulo agudo com j → .
Mostre que, se E = p → ,q → ,r → é uma base ortonormal negativa, u → = a 1 ,b 1 ,c 1 E e v → = a 2 , b 2 ,c 2 E , então u → ∧ v → = - p → q → r → a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2
Sejam u → = 1 ,1 ,1 B e v → = 0 ,1 ,2 B . Obtenha uma base ortonormal positiva a → ,b → ,c → tal que1. a → e u → sejam de mesmo sentido;2. b → seja combinação linear de u → e v → ;3. a primeira coorde