Enunciado

26. Suponha que o R 3 tenha o produto interno euclidiano. O subespaço de R 3 gerado pelos vetores u → 1 = 4 5 , 0 , - 3 5 e u → 2 = 0,1 , 0 é um plano passando pela origem. Expresse w → = 1,2 , 3 na forma w → = w → 1 + w → 2 , sendo w → 1 um vetor no plano e w → 2 perdendicular ao plano.

Passo 1

Vamos usar o processo de Gram-Schmidt para achar dois vetores ortogonais, um em W e outro em W ⊥ .

Primeiro para v 1 :

v 1 = u 1

v 1 = 4 5 , 0 , - 3 5

Passo 2

Agora para v 2 :

v 2 = u 2 - u 2 ⋅ v 1 v 1 2 v 1

Fazendo o produto interno:

u 2 ⋅ v 1 = 0 4 5 + 1 0 + ( 0 ) ( - 3 5 )

u 2 ⋅ v 1 = 0

Então:

v 2 = u 2

v 2 = 0 , 1,0

Passo 3

Agora fazemos as projeções:

w 1 = p r o j W w

w 1 = w ⋅ v 1 v 1 2 v 1 + w ⋅ v 2 v 2 2 v 2

Fazendo os produtos internos:

w ⋅ v 1 = 1 4 5 + 2 0 + 3 - 3 5

w ⋅ v 1 = - 1

w ⋅ v 2 = 1 0 + 2 1 + 3 0

w ⋅ v 2 = 2

Calculando a norma de v 1 e v 2 :

v 2 = 4 5 2 + 0 2 + - 3 5 2

v 2 = 1

v 2 = 0 2 + 1 2 + 0 2

v 2 = 1

Então:

w 1 = - 1 1 2 v 1 + 2 1 2 v 2

w 1 = - v 1 - 2 v 2

Substituindo os vetores:

w 1 = - 4 5 , 0 , - 3 5 - 2 0,1 , 0

w 1 = - 4 5 , - 2 , - 3 5

Passo 4

E para w 2 :

w 2 = p r o j W ⊥ w

w 2 = w - p r o j W w

w 2 = w - w 1

w 2 = 1,2 , 3 - - 4 5 , - 2 , - 3 5

w 2 = 9 5 , 4 , 18 5

Resposta

w 1 = - 4 5 , - 2 , - 3 5

w 2 = 9 5 , 4,18 5

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24. Suponha que R 3 tenha o produto interno euclidiano. Encontre uma base ortonormal do subespaço gerado por 0,1 , 2 ,- 1,0 , 1 , ( - 1,1 , 3 ) .
23. Suponha que R 2 tenha o produto interno euclidiano. Em cada parte, use o processo de Gram-Schmidt para transformar a base u → 1 , u → 2 , u → 3 , u → 4 numa base ortonormal.u → 1 = 0,2 , 1,0 , u →
30. No passo 3 da prova do Teorema 6.3.5, foi afirmado que “a independência linear de { u 1 , u 2 , … ,u n } garante que v 3 ≠ 0 ”. Prove essa afirmação.
31. Prove as entradas na diagonal de R na fórmula (15) são não nulas.
29. Em cada parte, encontre a decomposição QR, se houver.(a) 1 - 1 2 3 (b) 1 2 0 1 1 4 (c) 1 1 - 2 1 2 1 (d) 1 0 2 0 1 1 1 2 0 (e) 1 2 1 1 1 1 0 3 1 (f) 1 0 1 - 1 1 1 1 0 1 - 1 1 1