Enunciado

Seja B 1 = u 1 ,   u 2 e B 2 = v 1 ,   v 2 as bases de R 2 dads por u 1 = 2 ,   2 , u 2 = 4 ,   - 1 , v 1 = 1 ,   3 e v 2 = - 1 ,   - 1 .

a) Use a fórmula (14) para encontrar a matriz de transição P B 2 → B 1 .

a) Use a fórmula (14) para encontrar a matriz de transição P B 1 → B 2 .

b) Confirme que P B 2 → B 1 e P B 1 → B 2 são inversas uma da outra.

d) Seja w = 5 ,   - 3 . Encontre w B 1 e use a matriz P B 1 → B 2 para calcular w B 2 a partir de w B 1 .

e) Seja w = 3 ,   - 5 . Encontre w B 2 e use a matriz P B 2 → B 1 para calcular w B 1 a partir de w B 2 .

Passo 1

No item (a) temos que achar a matriz de transição da base B 2 para base B 1 . Para isso, temos que escrever os vetores de B 2 com suas coordenadas dadas em termos de B 1 . Desta forma, podemos escrever

v 1 = a u 1 + b u 2 ⇒ 1 ,   3 = a   2 ,   2 + b   4 ,   - 1 ⇒ 2 a + 4 b = 1 2 a - b = 3

Resolvendo esse sistema, achamos

a = 13 10             e           b = - 2 5

Da mesma forma

v 2 = - 1 ,   - 1 = a   2 ,   2 + b   4 ,   - 1 ⇒ 2 a + 4 b = - 1 2 a - b = - 1 ⇒ a = - 1 2         e         b = 0

Portanto,

v 1 = 13 10 ,   - 2 5 B 1

v 2 = - 1 2 , 0 B 1

Esses vetores são as colunas da matriz P B 2 → B 1 :

P B 2 → B 1 = 13 / 10 - 1 / 2 - 2 / 5 0

Passo 2

Eu sei que você já sabe que basta inverter a matriz do item (a) que achamos a resposta do item (b). Mas o exercício quer que usemos o método dado pela fórmula (14). Para isso, escrevemos a matriz expandida:

13 / 10 - 1 / 2 - 2 / 5 0 1 0 0 1

A brincadeira aqui é a seguinte: vamos fazer operações de linhas para transformar a matriz do lado esquerdo na identidade. A matriz que sobrar no lado direito será a matriz procurada!

Primeiro, vamos multiplicar a primeira linha por 10 / 13 e a segunda por 5 / 2 :

1 - 5 / 13 - 1 0 10 / 13 0 0 5 / 2

Somando a primeira linha com a segunda:

1 - 5 / 13 0 - 5 / 13 10 / 13 0 10 / 13 5 / 2

Agora fazemos a segunda linha menos a primeira:

- 1 0 0 - 5 / 13 0 5 / 2 10 / 13 5 / 2

Por fim, multiplicamos a primeira linha por - 1 e segunda por - 13 / 5 :

1 0 0 1 0 - 5 / 2 - 2 - 13 / 2

Portanto,

P B 1 → B 2 = 0 - 5 / 2 - 2 - 13 / 2

Passo 3

Agora vamos para o item (c). Temos que verificar que P B 1 → B 2 é a inversa de P B 2 → B 1 . Para isso, multiplicamos as duas matrizes:

P B 1 → B 2   P B 2 → B 1 = 0 - 5 / 2 - 2 - 13 / 2 13 / 10 - 1 / 2 - 2 / 5 0 = 1 0 0 1

Da mesma forma,

P B 2 → B 1   P B 1 → B 2 = 13 / 10 - 1 / 2 - 2 / 5 0 0 - 5 / 2 - 2 - 13 / 2 = 1 0 0 1

Provamos assim que uma matriz é a inversa da outra, pois o produto delas é a identidade!

Passo 4

Vamos agora ao item (d)! Temos que considerar o vetor

w = 5 ,   - 3

Primeiro temos que escrever as coordenadas desse vetor na base B 1 . Assim, escrevemos

w = a u 1 + b u 2

Logo,

5 ,   - 3 = a   2 ,   2 + b   4 ,   - 1

Com isso, caímos no sistema:

2 a + 4 b = 5 2 a - b = - 3

Resolvendo esse sistema, achamos

a = - 7 10           e           b = 8 5

Portanto, temos que

w = - 7 10 , 8 5 B 1

Ou ainda,

w B 1 = - 7 / 10 8 / 5

Para achar w B 2 , usamos

w B 2 = P B 1 → B 2 w B 1 = 0 - 5 / 2 - 2 - 13 / 2 - 7 / 10 8 / 5

Portanto,

w B 2 = - 4 - 9

Passo 5

Por fim, vamos ao item (e). Agora, temos o vetor

w = 3 ,   - 5

Para escrevê-lo na base B 2

w = 3 ,   - 5 = a   1 ,   3 + b   ( - 1 ,   - 1 ) ⇒ a - b = 3 3 a - b = - 5

Resolvendo o sistema, achamos

a = - 4           e           b = - 7

Portanto,

w B 2 = - 4 - 7

Para achar w B 1 , usamos a expressão

w B 1 = P B 2 → B 1 w B 2 = 13 / 10 - 1 / 2 - 2 / 5 0 - 4 - 7

Com isso, achamos

w B 1 = - 17 / 10 8 / 5

Resposta

P B 2 → B 1 = 13 / 10 - 1 / 2 - 2 / 5 0

P B 1 → B 2 = 0 - 5 / 2 - 2 - 13 / 2

w = ( 5 ,   - 3 ) ⇒ w B 1 = - 7 / 10 8 / 5 ⇒ w B 2 = - 4 - 9

w = ( 3 ,   - 5 ) ⇒ w B 2 = - 4 - 7 ⇒ w B 1 = - 17 / 10 8 / 5

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