Enunciado

Sejam S = e 1 ,   e 2 a base canônica de R 2 e B a base que resulta quando os vetores de S são refletidos em torno da reta que faz um ângulo θ com o eixo x positivo.

a) Encontre a matriz de transição P B → S .

b) Seja P B → S e mostre que P T = P S → B .

Passo 1

Fala pessoal, nesse problema vamos falar um pouco sobre a reflexão de pontos no plano cartesiano.

O enunciado forneceu a base canônica S = e 1 ,   e 2 com

e 1 = 1 ,   0

e 2 = 0 ,   1

Para achar os vetores de B = u 1 ,   u 2 , temos que refletir os vetores e 1 e e 2 em torno da reta y = tan ⁡ θ x . Essa é reta que faz um ângulo θ com o eixo x positivo.

Vamos ver o que acontece com e 1 = 1 ,   0 quando é refletido:

Quando refletimos e 1 , obtemos u 1 cuja norma deve ser 1 . Além disso, o ângulo que u 1 faz com o eixo x é 2 θ . Portanto, as coordenadas de u 1 são

u 1 = cos ⁡ 2 θ ,   s e n   2 θ

Analagamente, refletindo e 2 = 0 ,   1 em torno dessa reta, obtemos que u 2 que forma um ângulo 2 90 ° - θ com o eixo y . Portanto, o ângulo formado com o eixo x é

90 ° - 2 90 ° - θ = 2 θ - 90 °

Assim,

u 2 = cos ⁡ 2 θ - 90 ° ,   s e n   2 θ - 90 °

Ou ainda,

u 2 = s e n   2 θ ,   - cos ⁡ 2 θ

Note que

u 1 = cos ⁡ 2 θ ,   s e n   2 θ S             e           u 2 = s e n   2 θ ,   - cos ⁡ 2 θ S

Para construir a matriz de mudança de base de B para S , pegamos as coordenadas dos vetores de B escritos na base S e as colocamos nas colunas da matriz:

P B → S = cos ⁡ 2 θ s e n   2 θ s e n   2 θ - cos ⁡ 2 θ

Passo 2

A matriz achada no item (a) é chamada de P :

P = cos ⁡ 2 θ s e n   2 θ s e n   2 θ - cos ⁡ 2 θ

Sabemos que P S → B é a inversa de P B → S . Para achar a inversa, usamos o truque das matrizes 2 × 2 :

a b c d - 1 = 1 a d - b c d - b - c a

Assim,

cos ⁡ 2 θ s e n   2 θ s e n   2 θ - cos ⁡ 2 θ - 1 = 1 - cos 2 ⁡ 2 θ - s e n 2   2 θ - cos ⁡ 2 θ - s e n   2 θ - s e n   2 θ cos ⁡ 2 θ

Como cos 2 ⁡ x + s e n 2 x = 1 , temos que

P - 1 = cos ⁡ 2 θ s e n   2 θ s e n   2 θ - cos ⁡ 2 θ - 1 = cos ⁡ 2 θ s e n   2 θ s e n   2 θ - cos ⁡ 2 θ = P

Mas note também que a transposta de P é

P T = cos ⁡ 2 θ s e n   2 θ s e n   2 θ - cos ⁡ 2 θ = P

Portanto,

P B → S = P = P T = P S → B

Resposta

P B → S = cos ⁡ 2 θ s e n   2 θ s e n   2 θ - cos ⁡ 2 θ

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