Enunciado

Sejam B 1 = u 1 ,   u 2 ,   u 3 e B 2 = v 1 ,   v 2 ,   v 3 as bases de R 3 dadas por u 1 = 2 ,   1 ,   1 , u 2 = 2 ,   - 1 ,   1 , u 3 = 1 ,   2 ,   1 , v 1 = 3 ,   1 ,   - 5 , v 2 = 1 ,   1 ,   - 3 e v 3 = - 1 ,   0 ,   2 .

a) Encontre a matriz de transição P B 1 → B 2 .

b) Seja w = - 5 ,   8 ,   - 5 . Encontre w B 1 e então usa a matriz obtida na parte (a) para calcular w B 2 por multiplicação matricial.

c) Confira seu resultado na parte (b) calculando w B 2 diretamente.

Passo 1

Esse é um problema típico de mudança de base. No item (a), queremos achar a matriz de transição P B 1 → B 2 da base B 1 (base velha) para a base B 2 (base nova). Para isso, usamos o método da equação (14) construindo a matriz expandida:

n o v a     v e l h a ]

Logo,

3 1 - 1 1 1 0 - 5 - 3 2 2 2 1 1 - 1 2 1 1 1

Vamos fazer operações de linha para transformar a matriz do lado esquerdo na identidade. Primeiro vamos trocar a primeira linha com a segunda:

1 1 0 3 1 - 1 - 5 - 3 2 1 - 1 2 2 2 1 1 1 1

Agora multiplicamos a primeira linha por - 3 e somamos com a segunda. Na mesma passagem, vamos multiplicar a primeira linha por 5 e somar com a terceira:

1 1 0 0 - 2 - 1 0 2 2 1 - 1 2 - 1 5 - 5 6 - 4 11

Agora somamos a segunda linha com a terceira:

1 1 0 0 - 2 - 1 0 0 1 1 - 1 2 - 1 5 - 5 5 1 6

Em seguida, somamos a terceira linha com a segunda:

1 1 0 0 - 2 0 0 0 1 1 - 1 2 4 6 1 5 1 6

Agora, multiplicamos a primeira linha por 2 e somamos com a segunda:

2 0 0 0 - 2 0 0 0 1 6 4 5 4 6 1 5 1 6 → 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 2 5 / 2 - 2 - 3 - 1 / 2 5 1 6

Portanto,

P B 1 → B 2 = 3 2 5 / 2 - 2 - 3 - 1 / 2 5 1 6

Passo 2

Agora vamos considerar o vetor

w = - 5 ,   8 ,   - 5

Temos que achar as coordenadas desse vetor na base B 1 . Note que:

w = - 5 ,   8 ,   - 5 = 9   2 ,   1 ,   1 - 9   2 ,   - 1 ,   1 - 5   1 ,   2 ,   1 = 9 u 1 - 9 u 2 - 5 u 3 = 9 ,   - 9 ,   - 5 B 1

Eu sei que você deve estar imaginando: como ele fez isso tão rápido? Como eu ia pensar nisso? Geralmente, não conseguimos ter essas sacadas de cara e montamos um sistema do tipo

w = a u 1 + b u 2 + c u 2

Se a gente montasse esse sistema e resolvesse, iríamos achar

a = 9 ,           b = - 9           e           c = - 5

Mas sempre que eu me deparo com um problema desses, eu faço umas continhas de cabeça somando os vetores e fazendo combinações simples para ver se uma delas dá certo. Caso dê certo, eu fujo do sistema 😊

Com isso, achamos

w B 1 = 9 - 9 - 5

Daí, basta usar

w B 2 = P B 1 → B 2 w B 1 = 3 2 5 / 2 - 2 - 3 - 1 / 2 5 1 6 9 - 9 - 5 = - 7 / 2 2 3 / 2 6

Portanto,

w B 2 = - 7 / 2 23 / 2 6

Passo 3

No item (c) só precisamos verificar as contas:

w = - 7 2 , 23 2 , 6 B 2 = - 7 2 v 1 + 2 3 2 v 2 + 6 v 3

Assim,

w = - 7 2 3 ,   1 ,   - 5 + 23 2 1 ,   1 ,   - 3 + 6   ( - 1 ,   0 ,   2 )

Logo,

w = - 21 2 ,   - 7 2 , 35 2 + 2 3 2 , 2 3 2 ,   - 69 2 + - 6 ,   0 ,   12 = - 5 ,   8 , - 5

Com isso, verificamos que nossas contas estão corretas!

Resposta

P B 1 → B 2 = 3 2 5 / 2 - 2 - 3 - 1 / 2 5 1 6

w B 1 = 9 - 9 - 5

w B 2 = - 7 / 2 23 / 2 6

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