Enunciado

Seja P o conjunto de todos os polinômios (de qualquer grau) com coeficientes reais. Existe uma base finita para esse espaço? Encontre uma “base” para P e justifique então por que P é conhecido como espaço de dimensão infinita.

Passo 1

Para responder a essa pergunta, uma boa técnica seria a redução ao absurdo. Suponha que exista uma base finita de dimensão n + 1 . Podemos pegar o seguinte conjunto para representar todos os polinômios com grau no máximo n :

{ 1 ,   x , x 2 , … , x n }

Mas a pergunta que fica é: esse conjunto consegue representar um polinômio de grau maior que n ? A resposta é clara: não.

Então teríamos que estar sempre aumentando o tamanho da base para atender a graus de polinômios maiores.

Passo 2

Como o expoente dos termos dos polinômios são números naturais e estes, por sua vez, são infinitos, então uma “base” para P seria:

1 , x , x 2 , … , x n , …

Onde a sequência acima segue com expoentes naturais.

Como não é possível definir um número finito de vetores para a base desse espaço, dizemos que ele possui dimensão infinita.

Resposta

Não.

“base”: { 1 , x , x 2 , … } .

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Encontre a distância euclidiana entre u → e v → . u → = ( 1 ,2 ,- 3 ,0 ) ,v → = ( 5 ,1 ,2 ,- 2 ) u → = ( 2 ,- 1 ,- 4 ,1 ,0 ,6 ,- 3 ,1 ) ,v → = ( - 2 ,- 1 ,0 ,3 ,7 ,2 ,- 5 ,1 ) u → = ( 0 ,1 ,1 ,1 ,2 )
Os vetores v 1 = 1 , - 2,3 e v 2 = 0,5 , - 3 são linearmente independentes. Aumente v 1 , v 2 até uma base de R 3 .
Suponha que um vetora do plano x y tenha um comprimento de 9 unidades e aponte na direção que faz um ângulo de 120 ° no sentido anti-horário a partir do eixo x positivo e que um vetor b daquele plano
17. (a) Mostre que, para cada inteiro positivo n , podemos encontrar n + 1 vetores linearmente independentes em F - ∞ , ∞ . (Sugestão: procure polinômios.)(b) Use o resultado da parte (a) para provar
Sejam v 1 = 2,1 , 3 ,v 2 = 3 , - 1,4e v 3 = 2,6 , 4 . (a) Mostre que v 1 , v 2ev 3 são L.D; (b) Mostre que v 1ev 2 são L.I; (c) Qual a dimensão do subespaço gerado por v 1 ,v 2ev 3 , v 1 ,v 2 ,v 3 ; (